慣性モーメント,回転半径とは？

質問

慣性モーメントとは質量mなる物体の微小部分び質量をdmその部分と特定の軸Aとの距離をrとするときr^2とdmの積の物体の全部分についての総和を軸Aに関する慣性モーメントと言う。
これが本にある定義です。
ここで∫r^2dmの次元はm^2・kgですよね？
曲げモーメントやその他のモーメントは次元がNmです。
次元が全く違うのになぜモーメントという名がついてるのでしょうか？
また慣性とついてるのはなぜでしょうか？

それと
物体の全質量をMとすると軸からkの距離に全質量が集まったと考えれば
慣性モーメントI=Mk^2となり
kを回転半径という。
これが回転半径の定義と本にはあります。
なぜこれが回転半径なんでしょうか？
どなたかお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

ある場所Ｐ(位置ベクトルをｒとします)で定義されている物理量Ａについて
ｒとＡとの積をモーメントという，
と思えばいいでしょう．
Ａがどういう物理量かで，当然モーメントの次元(あるいは単位)は違います．

Ａが力Ｆで，積として外積をとればｒ×Ｆは力のモーメント．
Ａが運動量ｐならｒ×ｐは運動量のモーメントですが，
これは通常角運動量と呼んでいます．

Ａがスカラー量のときも考えられます．
ペアの点電荷+q，－qがｒ１，ｒ２にあるとき
q(r1) ＋ (-q)(r2)＝qdを電気双極子のモーメントといいます．
dは－qからqに向かうベクトルです．
磁気モーメントも同様ですね．

さらに拡張して

　　+q　　-q

　　-q　　+q

のような４つの電荷(磁荷)に対しても，電気(磁気)４重極モーメントがあります．
これは２階のテンソル量です

質点がたくさんあって(m1,m2,...)，それらの位置ベクトルが r1,r2,... のとき
質点の単純なモーメント
m1 r1 + m2 r2 + ...
はもちろん重心の総質量(m1+m2+...)倍を与えます．
質点系全体の並進運動だけ考えるなら，全質量が重心に集まったと思って良い
というわけです．

質点の２次のモーメント(この場合は原点ではなくて軸からの距離になっていますが)
m1 r1^2 + m2 r2^2 + ...
が慣性モーメントＩに他なりません．
くだいて言えば，質点系全体の回転を論じるときには，
質量Ｍの質点に長さｋのひもを結んで回転させる話と同様だということです．
回転半径の名前はそこから来ているのでしょう．

「慣性」モーメントと呼ぶのは，
Ｉが回転に関する変化のしやすさを表す量になっているからでしょう．
回転の様子を支配する方程式が
I(dL/dt) = N
ですから，
同じ力のモーメントＮに対してはＩが大きいほど角運動量Ｌが変化しにくいのです．
ちょうど並進運動の
m(dv/dt) = F
と対応しています(ｍは慣性質量！)

なお，確率論などでは，分布関数 f(x) に対して
∫x^n f(x) dx
をｎ次のモーメントと呼んでいます．
上の話とも符合しますね．

お礼

なるほど！
私は機械の学生なのでテンソルとかはあまり詳しくないし
物理も深く勉強してなかったからモーメントを違う風に理解していたようですね。
角運動量もモーメントだったとは驚きでした。
siegmundさんのおっしゃる定義では確かにモーメントになってますね。
納得です。
ありがとうございました。