慣性モーメントについて

質問

高さL、外径ｂ、内径ａの一様な中空の円柱
(半径ｒの穴の開いた半径ｂの円柱の中に、半径ａの同じ高さの円柱がある。つまりｒ＝ｂ－ａ）
の中心軸ｚのまわりの慣性モーメントＩzを求めたいのですが。

普通の円柱の場合は、Ｉ＝∫∫∫_ⅴ R＾2ρdxdydz　
(ⅴ：積分範囲　R：回転軸からの距離　ρdxdydz：微笑部分の質量? ρは体積密度)

で慣性モーメントを求めることができますが、中空の円柱の場合、どのように積分範囲やRを求めてよいのかが分かりません。

図がうまく説明できませんが、どなたか回答・アドバイスお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

ご質問の内容からしますと，中空でない場合は理解されているんですよね．
じゃ，ρが違うだけですね．
中空部分はρがゼロと思えばＯＫです
（つまり，中空部分については積分しないのと同じこと)．
普通の円柱なら回転軸からの距離に関して 0 から b まで積分ですが，
今の場合は結局 a から b まで積分することになります．

あるいは，全体の慣性モーメントは各部分のそれの和ですから，
半径 b の円柱の慣性モーメントから半径 a の円柱の慣性モーメントを引く手もあります．
もちろん，どちらの考えも同じことで，前半の定積分を求める際の引き算が
すぐ上の引き算に対応しています．

お礼

回答ありがとうございます。
自信がないのですが、アドバイスを元に解いてみます。

Ｉb－Ｉa
＝R＾2ρdxdydz
＝∫∫∫_ⅴ(√x＾2＋y＾2)＾2ρdxdydz
＝∫∫∫_ⅴ(r＾2sinθ＋r＾2cosθ)ρrdrdθdz
＝∫∫∫_ⅴr＾3ρdrdθdz
＝ρ∫dz∫dθ∫r＾3dr　[－1/2L≦z≦1/2L、0≦θ≦2π、a≦r≦b]
＝1/2πLρ(b＾4－a^4)　???

しかし問題でρは与えられていないのですが…(質量も与えられていません)。
どのようにしたら良いのでしょうか？
また、上の式があっているかどうかも不安です…；
何度も申し訳ありませんが、補足をお願いします。

回答No.3

siegmund

> すみません、上の問題のｒ＝ｂ－ａとありますが、違います(私の勘違いでした)。
>
>> 高さL、外径ｂ、内径ａの一様な中空の円柱
> (半径ｒの穴の開いた半径ｂの円柱の中に、半径ａの同じ高さの円柱がある)

ははあ，r = b - a ということではなくて，
中空円筒(外径 b，内径 r)の中に円柱(半径 a)がある(軸は共通)ということですか．
それなら
> ρ＝Ｍ/{πL(a^2＋b^2－r^2)}
はそのとおりですが，慣性モーメントは修正しないといけませんね．
軸からの距離を R と書くことにして，
0≦R≦a と r≦R≦b に物体があることになりますから
求める慣性モーメントは
I(b) - I(r) + I(a) = (1/2)πLρ(b^4 - r^4 + a^4)
ですね．

M あるいはρが与えられないと慣性モーメントが決まらないのは
前と同じ事情です．

お礼

長々とすみませんでした。
計算したら、
I(b) - I(r) + I(a) = (1/2)πLρ(b^4 - r^4 + a^4)が出ました。
参考書に載っている、軸からの距離とこの問題の場合のｒが混ざって勘違いしていました。
本当に申し訳ありません。
しかし、しっかり私の頭の中に残りました。
もうすぐテストなので頑張りたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

計算は合っているようですが，
式の書き方がちょっとまずいところがありますね
(書き損なったのだと思いますが)．
それから，テキストファイルで式を書くのですから，
どこまでが分母か，どこまでが√の中身か，
などが明確になるように細心の注意を払って書かないと読む方はわかりません．
私が書くのなら

I(b) - I(a)
＝∫∫∫_V R＾2ρdx dy dz
＝∫∫∫_V {√(x＾2＋y＾2)}^2 ρdx dy dz
＝∫∫∫_V (r^2 sin^2 θ＋r^2 cos^2θ)ρr dr dθ dz
＝∫∫∫_V r^3 ρ dr dθ dz
＝ρ∫dz ∫dθ ∫r3 dr　　[－1/2L≦z≦1/2L、0≦θ≦2π、a≦r≦b]
＝(1/2)πLρ(b^4 - a^4)　

と書きます．

> しかし問題でρは与えられていないのですが…(質量も与えられていません)。

それはどう考えても条件不足ですね．
つまり，形状だけわかっていて材質について何も情報がない．
同じ形状でも，綿の中空円筒と鉄の中空円筒では慣性モーメントが違うのは
当然でしょう．

お礼

回答ありがとうございます。
確かに式の書き方が分かりづらいですね。すみません。
これからは注意して書きたいと思います。

すみません、上の問題のｒ＝ｂ－ａとありますが、違います(私の勘違いでした)。

>高さL、外径ｂ、内径ａの一様な中空の円柱
(半径ｒの穴の開いた半径ｂの円柱の中に、半径ａの同じ高さの円柱がある)
この条件のとき、ρを求めるため質量をＭとしたとすると
ρ＝質量/体積。
ρ＝Ｍ/{πL(a^2＋b^2－r^2)}になり

I(b) - I(a)
＝(1/2)πLρ(b^4 - a^4)　
＝(1/2)πL(b^4 - a^4)×Ｍ/{πL(a^2＋b^2－r^2)}
＝{(b^4 - a^4)Ｍ}/{2(a^2＋b^2－r^2)}

なんだかごちゃごちゃしていますが…。
質量のことは先生に聞いてみたいと思います。
ありがとうございました。