慣性モーメントの運動エネルギーについての質問
- 慣性モーメントの運動エネルギーについてよくわからないことがあります。重心周りの慣性モーメントがIzで質量がm,回転中心軸からの距離がlの剛体が角速度wで動いている場合、慣性モーメントの運動エネルギーは((Iz + mll)/2)w^2となることがわかっています。
- 円柱を地面にそって転がす場合、重心が円柱の中心から半径方向に距離bだけずれている場合、回転運動のエネルギーはどうなるのでしょうか？重心周りの慣性モーメントがIz,質量がmとしたとき円柱の回転運動のエネルギーは((Iz + mbb)/2)w^2となるのか、それとも(Iz/2)w^2となるのか、角速度wを測る基準となるθは重心から取るべきか、中心から取るべきかもわかりません。
- 慣性モーメントの運動エネルギーや円柱の回転運動についての疑問があります。回答をお願いします。
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慣性モーメントの運動エネルギー
お世話になっております。 慣性モーメントの運動エネルギー（正式名称は回転運動のエネルギーでいいのでしょうか？）について よくわからないことがでましたので質問させていただきました。 たとえば 重心周りの慣性モーメントがIzで質量がm,回転中心軸からの距離がlであるとき、その剛体が中心軸に対して角速度wで動いている場合 慣性モーメントの運動エネルギーは ((Iz + mll)/2)w^2 となることはわかっています。 では、ある円柱を地面にそって転がすとき、 重心が円柱の中心から半径方向に距離bだけずれている場合 回転運動のエネルギーはどうなるのでしょう？ （このほかに重心速度由来の(並進)運動エネルギーがつくと思われますが、それは今回置いておくことにします） さて、さきほどと同様に重心周りをIz,質量をmとしたとき円柱の回転運動のエネルギーは ((Iz + mbb)/2)w^2となるのでしょうか？ それとも (Iz/2)w^2となるのでしょうか？ なお、このときの角速度wを測る基準となるθは重心からとるべきなのか、中心から取るべきなのかもよくわかりません。 どなたかご教授お願いいたします。
- b_bb
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- 物理学
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本来，回転の運動エネルギーは運動エネルギー の一部であると考えるべきだと思います。 私たちは，剛体の運動を調べるときに便宜的に 重心の運動と重心周りの回転運動とに分けるわけ ですが，現実に存在する運動エネルギーは剛体の 各部の運動エネルギーの総和にすぎません。 ですから，もともと回転運動のエネルギーと 並進運動のエネルギーを分けることは便宜的な 操作であると解釈できます。 さて，提示された場面の場合回転を中心周りに とるか重心周りにとるかですが，それは何を知り たいのかという便宜でどちらの立場もとりうると 思います。しかし，一般的な方法として重心運動 と重心周りの運動とに分ける方法が確立されて いますから，その方法をとるのであれば1/2Izω^2 の方をとることになり，さらに中心周りの重心の 回転を残る運動エネルギーに含ませることになる でしょう。このとき重心はトロコイド曲線を描き ますから，運動を回転運動と並進運動とに分け 切れなかったということになります。 一方，回転を中心周りにとれば運動学としては 回転運動と並進運動をすっきり分けた格好になり ますが，今度は重心運動を分離できなくなって しまいますね。 結論として，この運動を解析する方法としては 前者の立場をとって， 重心周りの回転 ：1/2 Izω^2 重心運動 ：1/2 m(r^2+b^2+2brsinθ)ω^2 ただし，θは中心の進行方向（地面と平行）に 対する重心位置の中心角で ω=dθ/dt。 とでも書くことになるでしょうか？ 位置エネルギーとして重心の上下運動を考慮すれば 運動方程式が書きおろせると思います。
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- yokkun831
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補足です。 θを地面に垂直下方を基準にとった方が、 重心運動 ：1/2 m(r^2+b^2-2brcosθ)ω^2 となり、余弦定理との関連が見えてわかりやすいかも しれませんね。 また、この場合θは中心から重心方向へとっていますが、 重心から中心方向へとってもπのずれがあるだけで 本質的に変わりありませんね。回転軸をどこにとって、 測定点をどこにとってもωは変わりません。 ちなみに、上の重心運動のエネルギーの中の重心の 速度は、中心の速度と中心に対する重心の速度を ベクトルとして加えてもいいし、また、地面との接点を 軸とした重心の回転を考えるとただちに出てきますね。
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お礼
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