円柱 慣性モーメント

質問

円柱（半径Ａ,長さＬ、質量Ｍ）のＸ軸回りの慣性モーメントがＩ＝ｍ（Ｌ＾２＋３Ａ＾２）/12になることを示したいのですが
どう考えればいいのでしょうか？

回答No.1

joggingman

円柱の軸をｘ軸、ｚ軸の慣性モーメントを計算します。
y^2+z^2=A^2の円柱が、-L/2≦ｘ≦+L/2にあるので、
対称性から第一象限の部分を計算し８倍します。

０≦x≦L/2、０≦ｙ≦√(A^2-z^2)、０≦ｚ≦A
の範囲で、ρ(x^2+y^2)を重積分します。(密度ρ)
ρ∫[0→L/2] (x^2+y^2) dx=ρ{L^3/24+(L/2)y^2}
ρ∫[0→√A^2-z^2] {L^3/24 +(L/2)y^2}dy
=ρ{(L^3/24)√(A^2-z^2) +(L/6)(A^2-z^2)^(3/2)}
ρ∫[0→A] (L^3/24)√(A^2-z^2) +(L/6)(A^2-z^2)^(3/2) dz
=ρπ{(A^2)(L^3)/96+(A^4)L/32}
（z=Asinθとおいて、cos^2θ=(1+cos(2θ))/2
　cos^4θ=(3/8)+cos(2θ)+cos(4θ)/8　等で計算します）

よって、円柱の質量ｍ=π（A^2）Lだから、
I=８ρπ{(A^2)(L^3)/96+(A^4)L/32}
=Ｍ{(A^2)/4 +(L^2)/12}