球の慣性モーメント

質問

以下の問題で困っています。

半径a,質量Mの一様な球が傾斜角θの斜面を滑らずに転がり落ちていく。
斜面に沿ってx軸をとり、斜面垂直上方にy軸をとる。
球体の中心を通る軸の周りの慣性モーメントIを求めよ。

物理の知識がほとんどなく、出された上記の課題がわかりません。
他の質問も参照したのですが、球体に中空のものがあったりなど、これには当てはまらないかなと思いました。

すみませんが、お答え頂ければと思います。

回答No.1

sono0315

これは問題で質量Mの「一様な」球ということから、中もしっかり
詰まっていて、どの部分も密度が同じという意味です。

一般に慣性モーメントは
I=∫ρr^2dV
で計算することができます。

球の密度ρ、軸からの距離r、微小体積dVを求めて積分しましょう。
ここでのdVはxyzの3D空間ではdxdydzをさす

このような球体の問題では、極座標表示に直すのが一般的です。
ここでの説明は非常に面倒なので、以下を参考にしてみてください
http://www.users.kudpc.kyoto-u.ac.jp/~d54649/web_material/Jacobian.pdf

まずdxdydzがr^2drsinθdθdφとなりましたね。

次に球体の密度ρです。
密度は質量/体積なので普通に考えられます。

軸からの距離rについて、(ここでは回転軸はzとしている)
普通だと、√(x^2+y^2)という距離になりますが、
極座標に直しているので
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
となってます。
なので極座標表示における軸からの距離√(x^2+y^2)を計算できます。

あとは積分するだけです。

全体の流れは
http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node26.html
こことかで確認するといいかもしれません
このサイトではより簡単な図形からスタートしているので
そういったところから確実な理解をしていくといいと思います。
中空円筒の慣性モーメントの計算もあります。
１つ１つ確実に理解を深めていけば中空球体のモーメントも
同様に計算できるはずです