球の慣性モーメント

質問

球の半径をa、質量をMとしたとき、
V=(4/3)πa^3
ρ=M/V=(3M)/(4πa^3)
のときの、球の慣性モーメントなのですが、
I=∫（0→a）{x^2・ρ・4πx^2}dx
と考えたのですが、計算結果は　
(3/5)Ma^2になってします。
この方法のどこに問題があるのでしょうか？

回答No.2

physicsache

回転"軸"ですよ？

それじゃあ、球の中心点で回転させてることに・・・

そうでなくて、中心を通る軸の周りの回転なんです。

中心からの距離ではなく、中心を通る軸からの距離。
これを考えてみて下さい。

回答No.1

noname#21219

ある軸の周りの慣性モーメントを求めるには、
その軸からの距離をxとして、x^2ρdVを体積積分
したものです。球の場合、z軸を回転軸に取れば
（これは対称性によりどこを軸にとっても同じ)
z軸からの距離の二乗がx^2＋y^2,
その点における微小質量が、ρdxdydz
∴I=∫∫∫dxdydz(x^2＋y^2)ρ
極座標変換して(x=rsinθcosΦ、y=rsinθsinΦ)
I=∫r^2sinθdrdθdΦ・r^2sin^2θρ
=[r^5/5](r=0～a]∫sin^3θdθ・2π
.......