トーラスの慣性モーメント

質問

質量M 中心半径a　管半径c　のトーラス（ドーナツ型の図形）
の中心軸まわりの慣性モーメントを求めたのですがどうしても
I = (Ma^2)/4 + Mc^2　になってしまいます。

しかし某サイトで紹介されているトーラスの慣性モーメントは
I = (3Ma^2)/4 + Mc^2　となっていました。

おそらく自分の導出方法が誤っているのだろうと思います。
どなたかご教授ください。

回答No.2

rnakamra

>半径がC、厚さがdrの円盤の質量をdmとすると中心まわりの慣性モーメント
>は　dI = (dmc^2)/4 + dma^2

ここが間違っています。
トーラスを輪切りにしていくとき、厚さを一様にスライスすることはできません。トーラスに管の中心を結ぶ円に垂直にスライスすると、トーラスの中心軸に近いサイドの厚さと遠いサイドの厚さが異なることがわかります。
この厚さの違いは、この円板の重心の位置をスライスした断面の円の中心からずらしてしまい(トーラスの中心から見て少し遠くなります)、これはスライス幅をいくら小さくしてもゼロにすることはできません。
平行軸の定理がそのままでは適用できません。

回答No.1

rnakamra

あなたがどのような考えを元に式を立て、それを解いたかを示してください。
より適切なアドバイスができると思います。

補足

半径がC、厚さがdrの円盤の質量をdmとすると中心まわりの慣性モーメント
は　dI = (dmc^2)/4 + dma^2
またトーラスの密度は　ρ= M/2a(πc)^2
ゆえに dm = Mdr/2πa
したがって　dI = (Mc^2/8πa + Ma/2π)dr
これをトーラスの全周にわたって積分すると
I = Mc^2/4 + Ma^2

あ、質問文とa,cが逆になってますね。すいません。