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内積と行列で定まった関数の極値

n≧2の整数、 Aをn次の実対称行列、b∈R^nとします。f:R^n→Rを f(x) =1/2 <Ax,x> - <b,x> によって定めるとします（<x,y>はR^nの普通の内積を意味するとして）。 このとき z∈R^n で f が極値を持つならば、 Az = b が成り立つことを示したいです。 「　z=(z_1,...,z_n)と表した時に、全てのｉ=1,...,n について、∂f/∂z_i =0 となることから Az=b」という手順で言えるのかなと思ったのですが、すみませんうまくいきませんでした。 方針だけでもいいので教えて下さい。お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

あなたの手順で素直に計算するだけでうまくいきますよ。 f が z で極値を持つならば、i = 1..nに対して、∂f/∂x_i (z) = 0 が成立します。 <Ax,x> = Σa_jk x_j x_k, <b,x> = Σb_j x_j ですので(ここでA = (a_ij), b = (b_i)とおきました) ∂f/∂x_i (z) を実際に計算すると、 ∂f/∂x_i (z) = 1/2Σa_jk (δ_ij z_k +δ_ik z_j ) -Σb_j δ_ij = 1/2 (Σa_ik z_k +Σa_ji z_j ) -b_i Aが対称行列であるので、 = (Σa_ik z_k) -b_i これが全てのiについて 0 という条件という条件をまとめて書くと、 Az -b = 0 となるわけです。(∂f/∂x_i (z) = 0 という条件は Az -b の第 i 成分が0ということを表しているわけです。)

epok_wen
質問者

お礼

ありがとうございます。計算までしていただいて…。リトライしてみます。

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