• ベストアンサー

レイリー商について

線形代数について質問させてください。 R^n\{0}→Rの関数f_A(x)をn次の実対称行列Aを用いて、 f_A(x):x→<Ax,x>/<x,x> で定める。(xはn次縦ベクトルで、<,>は標準的な内積とする。) また、S^(n-1)={x∈R^n|<x,x>=1}とする。 このとき、像f_A(R^n\{0})とf_A(S^(n-1))が一致することを示したいのですが、 どのようにすればよいのかわかりません。 (f_A(R^n\{0})⊂f_A(S^(n-1))の示し方について) 具体的な方法を教えていただけないでしょうか

noname#205072
noname#205072

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

正規化すれば一発です. x ≠ 0 に対して λ = ||x|| > 0, y = x/λ ∈ S^{n - 1} とおけば f_A(x) = <Ax, x>/<x, x> = <Ay, y>/<y, y> = <Ay, y> で終わりです.

noname#205072
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 解決することができました!

関連するQ&A

  • 線形代数の質問です

    閲覧ありがとうございます!大学数学の線形代数についての質問です。 見づらいかもしれませんが、どなたか回答を出来るだけわかりやすく教えていただきたいです… よろしくお願いします! 問題:n次対称行列Aの最大の固有値をα、最小の固有値をβとすると次が成立することを示せ。 ここで(,)は実数を成分とするn次列ベクトル全体のなす集合の標準内積を表す。また、〔 〕はsup,infの範囲を示す。 α=sup(Ax,x)〔||x||=1〕=sup(Ax,x)/ (x,x)〔x≠0〕 β=inf(Ax,x)〔||x||=1〕=inf(Ax,x)/ (x,x)〔x≠0〕 関係ないかもしれませんが、補足:一般に特性方程式を解いて固有値を求めることは困難であるが、対称行列の場合にその固有値を解析的に求めるあるいは評価する方法として上記の事実が使われる。 よろしくお願いします!

  • 線形代数 行列 

    ||u||=1, u∈R^n f:R^n→R^n f(x)=x-2(u,x)u f(x)=Ax という線形代数の問題なのですが、 これのAの求めかたを教えてもらえませんか? Aは直交行列になるそうなのですが。

  • 内積に関する問題です。

    n≧2を整数とし、Aをn次対称行列とする。b∈R^nとし、R^n上の関数を標準内積<・,・>を用いて、f(x)=1/2<Ax,x>-<b,x> (x∈R^n)と定める。(1)この時、点y∈R^nにおいてfが極値を持つならば、Ay=bが成り立つことを示せ。(2)またAの固有値が正であるとき、fは唯一つの点で最小値を取ることを示せ。 長いですがお願いします。

  • また線形代数ですが、、

    また線形代数ですが、、 どなたかお願いします🙇‍♂️ a1,a2,a3をR^3のベクトルで <ak,ak>=1(k=1,2,3), <a1,a2>=<a2,a3>=<a3,a1>=1/2 みたすものとする。ここで<a,b>はR^3のベクトルaとbの内積を表す。 (1)a1,a2,a3が一次独立であることを示せ (2)f:R^3→R^3をf(a1)=0,f(a2)=a3,f(a3)=a2をみたす線形写像とする。このとき、fの像 Im f の基底を求めよ、ただし0は零ベクトルを表す。 (3)基底(a1,a2,a3)に関するf:R^3→R^3の表現行列Aを求めよ (4)fの固有値を全て求めよ (5)fの各固有値に対する固有ベクトルを、a1,a2,a3の一次結合で表せ

  • 行列の問題です。

    行列の問題です。 A^tはAの転置行列 R^nの2つのベクトル x^t=(x_1,..,x_n) y^t=(y_1,..,y_n) に対して内積<x,y>を Σ_{i=1~n}x_iy_i で定義する。 Aをn×n実交代行列とする。 Bをすべての固有値が正となる実対称n×n行列とする。 (1)任意のベクトルx∈R^nに対して <Ax,x>=0を示せ。 (2)任意のベクトルx∈R^nに対して <Bx,x>≧0であり、 統合はx=0のときに限ることを示せ。 (3)A+Bは正則行列となることを示せ。 よろしくお願いします。

  • 線形代数 ベクトル空間について

      1 2 2 5 A=3 6 1 0  Aは4*3行列。   2 4 1 1 W={Ax l x∈R^4}はベクトル空間である事を証明し、1組の基と次元を求めよ。 xとRはベクトルです。 上の問題がわかりません。 W={x∈R^4 l Ax=0}の問題の時はわかりますが、上の問題になると 全くわからないのです。 線形代数が得意でないので、出来れば詳しく教えてください。 お願いします。

  • 内積と行列で定まった関数の極値

    n≧2の整数、 Aをn次の実対称行列、b∈R^nとします。f:R^n→Rを f(x) =1/2 <Ax,x> - <b,x> によって定めるとします(<x,y>はR^nの普通の内積を意味するとして)。 このとき z∈R^n で f が極値を持つならば、 Az = b が成り立つことを示したいです。 「 z=(z_1,...,z_n)と表した時に、全てのi=1,...,n について、∂f/∂z_i =0 となることから Az=b」という手順で言えるのかなと思ったのですが、すみませんうまくいきませんでした。 方針だけでもいいので教えて下さい。お願いします。

  • 線形代数の問題の解き方を教えてください。

    線形代数の問題の解き方を教えてください。 2次形式f(x1,x2)=x1^2 + 2x2^2 をベクトルX=(x1,x2)T および行列Aを用いてXTAXと表すものとする。 (1)Aを求めよ (2)行列Aの固有値λ1,λ2 および固有ベクトルX1,X2を求めよ。ただしλ1>λ2とし、固有ベクトルは長さを1に正規化するものとする。 (3)f(X1,X2)を求めよ。 (4)f(X3)を求めよ。ただしX3=(1-α)X1+αX2,0≦α≦1とする。またf(X3)を最小とするαを求めよ。 という問題なのですが、簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。

  • ある行列A(具体的に与えられています)に対し,f(x)=Axで与えられ

    ある行列A(具体的に与えられています)に対し,f(x)=Axで与えられる実線形写像f:R^n→R^nがあったとします.このとき,Kerf∩Imfの基底はどのようにして求めればよいのでしょうか?

  • 線形代数学の教科書

    大学工学部の線形代数学の、問題が豊富で、その解説の詳しい参考書を探しています。線形代数ではありません。具体的にいうと面積・体積と行列式、行列式の計算、余因子行列とクラーメルの公式、固有値と固有ベクトル、正方行列と対角化、内積と転置行列、直行行列と実対称行列の対角化、二次形式の標準化、一般固有空間、ジョルダン標準形が載っているものです。