多変数関数の極値について

質問

(1)z=x^4＋y^4－a(x＋y)^2(aは正の定数)
(2)z=ax^2＋2bxy＋cy^2
の極値を求めてもらえないでしょうか。
両者ともB^2－AC=0になるところがあり判定の仕方がよくわかりません

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1,#2です。
(1)A#2で書いたように
fxx(0,0)=fyy(0,0)=-2a<0,g(x)=f(x,-x)=2x^4,g''(x)=24x^2≧0でΔx＞0で
g''(Δx)=24(Δx)^2＞0ですから、(0,0)は滞留点となり
極大値（最大値）や極小値（最小値）をとりません。
A#3さんの(1)の結論は正しくないですね。
＞f(h,k)=-4a(h+k)^2(０以上)
f(h,k)=-4a(h+k)^2≦0
h=-kに選べばf(h,k)=-4a(h-h)^2=0ですから
さらに高次の項を考えないと結論は出せませんね。高次の項は正になりf(h,k)＞0となります。h≠-k(hk≠0)と選んだ場合はf(h,k)＜0となります。
故に(0,0)では最大値（極大値）をとりません。（f(x,y)の三次元プロットをすれば明らかですがね。）

(2)のD=B^2-AC=0の場合のヒント
z=f(x,y)
簡単のためにa>0,c>0,b>0の場合を取りあげる。
fx=2(ax+by),fy=2(cy+bx)
fxx=2a,fyy=2c,fxy=2b
fxx(0,0)>0,fyy(0,0)>0…(A)
D=B^2-AC=4(b^2-ac)=0の時
b^2=ac
この時
z=f(x,y)={x(√a)+y(√c)}^2≧0
z=f(x,-x√(a/c))=0
zの最小値はz=0

(0,0)で最小値z=0を取るが、
y=-x√(a/c))で常にz=0であるから
z=0は極小値ではない。

お礼

細かくおしえていただきありがとうございました。
とりあえずヒントを元にやってみます

回答No.5

endlessriver

#1さんご指摘ありがとうございますm(_ _)m
多項式だからティラー展開する必要もなく、しかも1/n!で割るのをわすれて(^_^;)
なお(2)はf=(1/a)(ax+by)^2だからax=byの直線上でaの符号により最小値か最大値をとる。

回答No.3

endlessriver

(1)(0,0)で展開すると微小項を無視してf(h,k)=-4a(h+k)^2(０以上)
したがって(0,0)で最大値0をとる。

(2)b^2-ac=0のとき簡単のためb<>0とするとa,c<>0。するとむ
f=(1/a)(ax+by)^2となって上記と同様に議論できる。

回答No.2

info22

＞(0,0)の時は(0,0)=0となってこれだけでは判断できないんですよね？
＞この判別の方法を(1)(2)ともに教えていただきたかったんです。
あなたの解答の途中式を補足に何も書いてくれませんね。
あなたのやった結果の
”うまく行かない結論だけ”
をお書きになっても具体的な回答ができません。

ヒント
(1)ではA=B=C=-2a<0,D=0では極大や極小の判定が出来ません。
基本に戻って、(0,0)の近傍(x,y)でz=f(x.y)の全ての2次の方向微係数の符号が同じであれば極値を取り、異なれば滞留点となります。
A=B=-2a<0ですが
例えばy=-xに沿った2次の方向微係数を調べると
24Δx^2＞0となります
したがって、(0,0)は滞留点と判定できます。

回答No.1

info22

＞両者ともB^2－AC=0になるところがあり判定の仕方がよくわかりません
前半意味不明。
分かる範囲で解答を書き質問すること。

ヒント
とりあえず(1)だけ
z=f(x,y)とおくと
fx=fy=0から　(x,y)=(0,0),(±√a,±√a)
(x,y)=(0,0)はzの鞍形点
(x,y)=(±√a,±√a)(複合同順)で最小値z=-2a^2

お礼

お礼に書いて申し訳ないですが捕足の「(0,0)の時は(0,0)=0」の部分は「(0,0)の時はB^2－AC=0」のまちがいです。

補足

申し訳ないです。
もうちょい細かく書くと

(1)(2)ともにfx=fy=0で停留点を出し(0,0),(±√a,±√a)のように３パターンでますが(±√a,±√a)のときはB^2－ACに代入すればわかりますけど
(0,0)の時は(0,0)=0となってこれだけでは判断できないんですよね？
この判別の方法を(1)(2)ともに教えていただきたかったんです。