導関数の問題です（英文含む）

質問

いつも大変お世話になっております。

導関数の問題を解いてみました。
お手数ですが正解かどうかご確認を頂ければ幸いです。
（特にｆあたりの問題がきな臭いです・・・間違えているかも。）

****　問題　****

Consider the function f(x) = (x^2 - 4) / (x^2 - 9)

Find :

a : Critical points
b : Partition points
c : Intervals over which f is increasing; decreasing
d : Local min., and local max. points
e : Intervals over which f is concave upward, and concave downward.
f : Inflection points
g : Equations of vertical and horizontal asymptotes

*** マイ答え***

a : x=0
b : x=0, x=-3, x=3
c : Increasing (-∞,-3) U (-3,0) / decreasing (0,3) U (3,∞）
d : local maximum (0, 4/9)
e : Concave up (-∞,-3) U (3,∞）/ concave down (-3,3)
f : Inflection point (-0.1235 , 0.4435)
g : Vertical asymptotes x^2-9=0 x=3,-3
Holizontal asymptotes x^2/x^2=1 y=1

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>Consider the function f(x) = (x^2 - 4) / (x^2 - 9)

a : Critical points(停留点)
f '(x)=-10x/((x-3)(x+3))^2
f '(x)=0より x=0
>a : x=0
合ってる。

b : Partition points（区間端点）
f '(x)=-10x/((x-3)(x+3))^2　より
x=-3, 0, 3
>b : x=0, x=-3, x=3
合ってる。

c : Intervals over which f is increasing; decreasing
(f の増加範囲、減少範囲)
f '(x)=-10x/((x-3)(x+3))^2　より
増加範囲：f '(x)>0の範囲：-∞<x<-3 or -3<x<0
減少範囲：f '(x)<0の範囲：0<x<3 or 3<x<∞

>c : Increasing (-∞,-3) U (-3,0) / decreasing (0,3) U (3,∞）
合ってる。

d : Local min., and local max. points
（極小値と極大値）

f '(x)=-10x/((x-3)(x+3))^2=0より　x=0 (1つだけ)
停留点：x=0
ｆ ''(x)=30(x^2+3)/((x-3)(x+3))^3
f ''(0)=-10/81<0 (上に凸)
x=0のとき極大値f(0)=4/9
極小値なし。

>d : local maximum (0, 4/9)
書き方まずい。x=0のとき　local maximum 4/9

e : Intervals over which f is concave upward(上方へ湾曲、下に凸), and concave downward（下方へ湾曲、上に凸）.

ｆ ''(x)=30(x^2+3)/((x-3)(x+3))^3
ｆ ''(x)>0 ⇒ -∞<x<-3 or 3<x<∞のとき (上方へ湾曲、下に凸)
f ''(x)<0 ⇒ -3<x<3 のとき　（下方へ湾曲、上に凸）

>e : Concave up (-∞,-3) U (3,∞）/ concave down (-3,3)
合ってる。

f : Inflection points（変曲点）

ｆ ''(x)=30(x^2+3)/((x-3)(x+3))^3≠0 (x≠±3)
変曲点なし。

>f : Inflection point (-0.1235 , 0.4435)
間違い。変曲点なし。

g : Equations of vertical and horizontal asymptotes
（垂直漸近線と水平漸近線）

f(x) = (x^2 - 4) / (x^2 - 9)
x^2→∞のとき　f(x)=(1-4/x^2)/(1-9/x^2) → 1
∴Horizontal asymptotes：y=1
x→±3のとき　f(x)　→　±∞
∴Vertical asymptotes：x=-3, x=3

>g : Vertical asymptotes x^2-9=0 x=3,-3
合ってる。
>Holizontal asymptotes x^2/x^2=1 y=1
x^2/x^2=1の書き方はよくない。
漸近線は合ってる。

補足

詳しく答え合せをしていただき大変助かります。
お手数ですが最後の、横の漸近線の書き方についてご教授お願いできますでしょうか。

一応分数の分母＆分子の最大指数を含むXを比べて漸近線を出す、という感じに覚えていたのですが、
テストに書き込んで違和感がない方法を覚えたいと思います。

お手数をおかけ致しますが、どうぞよろしくお願い致します。

回答No.3

yyssaa

a : x=0
＞正解
b : x=0, x=-3, x=3
＞正解
c : Increasing (-∞,-3) U (-3,0) / decreasing (0,3) U (3,∞）
＞正解
d : local maximum (0, 4/9)
＞local maximum point (0, 4/9)
(注)local maximumだけなら4/9
e : Concave up (-∞,-3) U (3,∞）/ concave down (-3,3)
＞正解
f : Inflection point (-0.1235 , 0.4435)
＞無し(変曲点は存在しない)
g : Vertical asymptotes x^2-9=0 x=3,-3
＞正解
Holizontal asymptotes x^2/x^2=1 y=1
＞x^2/x^2=1は意味不明。
y=1、丁寧に書くならy=f(x)としてy=1

回答No.1

shuu_01

b : Partition points　って定義がよくわかりませんでした

でも、ちゃんと勉強してる　wildstrawberry の答えなので、正しそうな気がします

f : Inflection point は変曲点ですよね

f'(x) ＝ -10x / (x^2-9)^2

f''(x) = 30(x^2+3)/(x^2-9)^3

でしょう（ちょっと自信ないけど）

x ＝ -3、3 で確かに f''(x) は プラスからマイナス、マイナスからプラスに変化するけど、f(x) は連続していない所なので、変曲点って言うの？

a,c,d,e,g は 合ってます