- ベストアンサー
導関数の問題解説
- 導関数の問題を解いてみました。この記事では、問題の解説と答えの解説を行います。
- 問題の答えから、重要なポイントを抜粋しました。具体的には、クリティカルポイント・分割点・増減区間・極値・凹凸区間・変曲点・漸近線について解説します。
- 問題の答えを詳しく解説します。具体的には、クリティカルポイントはx=0、分割点はx=0, x=-3, x=3、増減区間は(-∞,-3) U (-3,0)と(0,3) U (3,∞)、極大値は(0, 4/9)、凹凸区間は(-∞,-3) U (3,∞)と(-3,3)、変曲点は(-0.1235 , 0.4435)、漸近線はx=3, x=-3とy=1です。
- wildstrawberry
- お礼率60% (472/784)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数12
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>Consider the function f(x) = (x^2 - 4) / (x^2 - 9) a : Critical points(停留点) f '(x)=-10x/((x-3)(x+3))^2 f '(x)=0より x=0 >a : x=0 合ってる。 b : Partition points（区間端点） f '(x)=-10x/((x-3)(x+3))^2 より x=-3, 0, 3 >b : x=0, x=-3, x=3 合ってる。 c : Intervals over which f is increasing; decreasing (f の増加範囲、減少範囲) f '(x)=-10x/((x-3)(x+3))^2 より 増加範囲：f '(x)>0の範囲：-∞<x<-3 or -3<x<0 減少範囲：f '(x)<0の範囲：0<x<3 or 3<x<∞ >c : Increasing (-∞,-3) U (-3,0) / decreasing (0,3) U (3,∞） 合ってる。 d : Local min., and local max. points （極小値と極大値） f '(x)=-10x/((x-3)(x+3))^2=0より x=0 (1つだけ) 停留点：x=0 ｆ ''(x)=30(x^2+3)/((x-3)(x+3))^3 f ''(0)=-10/81<0 (上に凸) x=0のとき極大値f(0)=4/9 極小値なし。 >d : local maximum (0, 4/9) 書き方まずい。x=0のとき local maximum 4/9 e : Intervals over which f is concave upward(上方へ湾曲、下に凸), and concave downward（下方へ湾曲、上に凸）. ｆ ''(x)=30(x^2+3)/((x-3)(x+3))^3 ｆ ''(x)>0 ⇒ -∞<x<-3 or 3<x<∞のとき (上方へ湾曲、下に凸) f ''(x)<0 ⇒ -3<x<3 のとき （下方へ湾曲、上に凸） >e : Concave up (-∞,-3) U (3,∞）/ concave down (-3,3) 合ってる。 f : Inflection points（変曲点） ｆ ''(x)=30(x^2+3)/((x-3)(x+3))^3≠0 (x≠±3) 変曲点なし。 >f : Inflection point (-0.1235 , 0.4435) 間違い。変曲点なし。 g : Equations of vertical and horizontal asymptotes （垂直漸近線と水平漸近線） f(x) = (x^2 - 4) / (x^2 - 9) x^2→∞のとき f(x)=(1-4/x^2)/(1-9/x^2) → 1 ∴Horizontal asymptotes：y=1 x→±3のとき f(x) → ±∞ ∴Vertical asymptotes：x=-3, x=3 >g : Vertical asymptotes x^2-9=0 x=3,-3 合ってる。 >Holizontal asymptotes x^2/x^2=1 y=1 x^2/x^2=1の書き方はよくない。 漸近線は合ってる。
その他の回答 (2)
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
a : x=0 ＞正解 b : x=0, x=-3, x=3 ＞正解 c : Increasing (-∞,-3) U (-3,0) / decreasing (0,3) U (3,∞） ＞正解 d : local maximum (0, 4/9) ＞local maximum point (0, 4/9) (注)local maximumだけなら4/9 e : Concave up (-∞,-3) U (3,∞）/ concave down (-3,3) ＞正解 f : Inflection point (-0.1235 , 0.4435) ＞無し(変曲点は存在しない) g : Vertical asymptotes x^2-9=0 x=3,-3 ＞正解 Holizontal asymptotes x^2/x^2=1 y=1 ＞x^2/x^2=1は意味不明。 y=1、丁寧に書くならy=f(x)としてy=1
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
b : Partition points って定義がよくわかりませんでした でも、ちゃんと勉強してる wildstrawberry の答えなので、正しそうな気がします f : Inflection point は変曲点ですよね f'(x) ＝ -10x / (x^2-9)^2 f''(x) = 30(x^2+3)/(x^2-9)^3 でしょう（ちょっと自信ないけど） x ＝ -3、3 で確かに f''(x) は プラスからマイナス、マイナスからプラスに変化するけど、f(x) は連続していない所なので、変曲点って言うの？ a,c,d,e,g は 合ってます
補足
詳しく答え合せをしていただき大変助かります。 お手数ですが最後の、横の漸近線の書き方についてご教授お願いできますでしょうか。 一応分数の分母＆分子の最大指数を含むXを比べて漸近線を出す、という感じに覚えていたのですが、 テストに書き込んで違和感がない方法を覚えたいと思います。 お手数をおかけ致しますが、どうぞよろしくお願い致します。