導関数の問題です（英文含む）

質問

いつも大変お世話になっております。

以下の導関数の問題を解いてみたのですが、
合っているかどうかご確認頂ければ幸いです。

********　問題　********

Find the critical numbers of f, the intervals on which f is increasing, and those on which f is decreasing, for f(x) = 5lnx - x. Then graph f.

Hint : Domain of f is (0 , ∞）

********　問題終わり　********

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞f(x)=5lnx-x、0＜x＜∞だから
f'(x)=5/x-1＞0、5＞x＞0でf(x)は増加
f'(x)=5/x-1＜0、5＜x＜∞でf(x)は減少
f'(x)=0、x=5でf(x)は極値
f"(x)=-5/x^2＜0だからf(x)のグラフは上に凸(∩)となり、
従ってx=5でf(x)は極大値5ln5-5をとる。
以上から、
the intervals on which f is increasingは
0＜x＜5
the intervals on whichf is decreasingは
5＜x＜∞
グラフは
f(5)=5ln5-5＞0、x→+0でf(x)→-∞、x→∞でf(x)→-∞、
上に凸(∩)の諸条件から、x=0→∞でy軸に沿って増加し、
0＜x＜5でx軸と交差、x=5で極大＞0、その後減少し、再度
x軸と交差して減少を続ける曲線となる(添付図参照)。

お礼

いつもありがとうございます。
すごく分かりやすい説明でした。

回答No.4

shuu_01

そこで　y ＝ 5 ln x ー x を微分してみます（導関数）

y ’＝ 5/x ー 1 　は正解です

ここで半分以上の点数、貰えそうな気がします

既に回答のあるよう

y ’＝ （5 ー x）x は

0 ＜ x ＜ 5 　で プラスなので、グラフは右肩上がり

x ＝ 5 で頂点、最大値に達し、

5 ＜ x でマイナスなので、グラフは右肩下がり

どんどん小さくなりますが、

x が無限大に大きくなると、y’は ー１ に近づき、
傾きも ー１ に近くなり、y は どんどん小さくなります

お礼

詳しい説明をありがとうございます。
きっと私は根本的に完全理解をしていないので、
（でも皆さんのおかげでなぜか試験では98点と95点が取れました！）
こういう説明は本当に助かります。

回答No.3

shuu_01

もう回答あるので、それはそれで良いとして、

今回の　y ＝ 5 Ln x ー x

を描くとき、y ＝ 5 ln x と y ＝ ーx を描きましょう

すると x が　0 　に近づくと、y ＝ 5 ln x は －∞ に
どんどん小さくなり、y ＝ ーx は x ＝ 0 の時、y ＝ 0
ですので、足すと ー∞にどんどん小さくなります

x が 無限大に大きくなると、y ＝ 5 ln x も無限大に
大きくなり、y ＝ ーx は無限大に小さくなりますが、
y ＝ 5 ln x は傾きがどんどん小さくなるので、
y ＝ ーx の小さくなるのと比べ、負けそうな気がします

回答No.1

spring135

間違いだらけです。

f(x) = 5lnx - x

f'(x)=5/x-1

f'(x)=0となるのは

x=5

増減表は

x=0 f'(x)>0 f(x)=-∞

0<x<5 f'(x)>0 f(x): increase

x=5 f'(x)=0 f(x)=5(log5-1)=maximum

x>5 f'(x)<0 f(x):decrease

x=∞　　f'(x)=-1 f(x)=-∞

お礼

いつもありがとうございます。
最初から間違っていましたね（涙）。
何でこんな計算をしたのか自分でも謎です。