代数学★群★英文の問題
- 代数学の問題には、部分群の例題があります。
- 例題８では、有理数の加法群が実数の加法群の部分群であること、絶対値が１の複素数が非ゼロ複素数の乗法群の部分群であること、そして{1,-1}が{1,-1,i,-i}の部分群であることが示されています。
- 質問者は、次の２番目と３番目の例について、なぜ部分群であるのか理解できないと述べています。
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代数学★群★英文の問題
EXAMPLE 8. The additive group of rational numbers is a subgroup of the additive group of real numbers. The group of complex numbers of absolute value 1 is a subgroup of the multiplicatiue group of non-zero complex numbers. The group {1,-1} is a subgroup of {1,-1,i,-i}. という部分群の例題があります。 例題８ (Ｑ,＋)≦（Ｒ,＋） (≦は部分群を示す) Ａ={a+bi｜a,b∈Ｒ, a^2 + b^2=1} ⊂ Ｃ ,Ｃ*=Ｃ＼{0} とすると、Ａ≦(Ｃ*,×) {1,-1}≦{1,-1,i,-i} となると思うのですが、和訳はあっているでしょうか？ また、１番目の例はわかるのですが ２，３番目の例がどうして部分群かわかりません。 x,y∈H ⇒ xy∈H かつ x^(-1)∈H ※ x^(-1)はxの逆元 にはどのようにあてはめるのでしょうか？ 教えてください。お願いします。
- ronson
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- 数学・算数
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例８： 有理数上の加算群は、実数上の加算群の部分群である。 絶対値が１の複素数は乗法について、複素数群の部分群である。 {1, -1} は、（乗法について）{1, -1, i, -i} の部分群である。 それぞれの例が、「部分集合」であることは自明なので、乗法について閉じていることと（複素数の積の絶対値はそれぞれの絶対値の積に等しい）、単位元と、逆元を探すだけ（＝群であることを確かめるだけ）です。 最後の例は、要素の数が有限なので、冷静に考えればわかるでしょう。 先の質問の兼ね合いからいえば、いずれの群も（もとの群も、部分群も）単位元が同じであることを確認しておくのも良いでしょう。
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ありがとうございます！！ わかりやすくてとてもためになりました（＞＜） 感謝です～！！！！！