代数学★群★英文の問題

質問

EXAMPLE 8. The additive group of rational numbers is a subgroup of the additive group of real numbers. The group of complex numbers of absolute value 1 is a subgroup of the multiplicatiue group of non-zero complex numbers. The group {1,-1} is a subgroup of {1,-1,i,-i}.

という部分群の例題があります。

例題８
(Ｑ,＋)≦（Ｒ,＋） (≦は部分群を示す)
Ａ={a+bi｜a,b∈Ｒ, a^2 + b^2=1} ⊂ Ｃ ,Ｃ*=Ｃ＼{0}
とすると、Ａ≦(Ｃ*,×)
{1,-1}≦{1,-1,i,-i}

となると思うのですが、和訳はあっているでしょうか？
また、１番目の例はわかるのですが
２，３番目の例がどうして部分群かわかりません。
x,y∈H ⇒ xy∈H　かつ　x^(-1)∈H 　※ x^(-1)はxの逆元
にはどのようにあてはめるのでしょうか？
教えてください。お願いします。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

例８：
有理数上の加算群は、実数上の加算群の部分群である。
絶対値が１の複素数は乗法について、複素数群の部分群である。
{1, -1} は、（乗法について）{1, -1, i, -i} の部分群である。

それぞれの例が、「部分集合」であることは自明なので、乗法について閉じていることと（複素数の積の絶対値はそれぞれの絶対値の積に等しい）、単位元と、逆元を探すだけ（＝群であることを確かめるだけ）です。

最後の例は、要素の数が有限なので、冷静に考えればわかるでしょう。

先の質問の兼ね合いからいえば、いずれの群も（もとの群も、部分群も）単位元が同じであることを確認しておくのも良いでしょう。

お礼

ありがとうございます！！
わかりやすくてとてもためになりました（＞＜）
感謝です～！！！！！