確率変数―独立

質問

確率変数Xが直線x=0について対象な密度関数f(x)を持つとする。すなわち、任意のx∈Rに対して、f(-x)=f(x)が成り立つとする。
ここで符号関数

sign(x)=1(x＞0)
　　　　 0(x＝0)
　　　　 -1(x＜0)
とすると、sign(X)と|X|は独立であることを示せ。

この問題を教えてください。

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

良い演習問題ですね。是非、自力で解いてください。確率変数の分布について深く味わうことができます。

任意の実数 a と b について、事象「sign(X) <= a 」と事象「|X| <= b 」が独立なことを確かめればいいのです。とりあえず、Pr(sign(X) <= a) や Pr(|X| <= b) を計算する（ f(x) の式で表す）ことから始めたらいかがでしょうか。 a や b の値は、いくつかのケースに場合分けする必要があります。

なお、δ関数は、関数でなく、超関数あるいは Distribution と呼ばれるものです。関数の世界であたりまえの四則演算、積分、確率変数との関係等は、当然には使えません。何をもってδ関数の定義とするのか、超関数どうしが等しいとはどんな意味なのか、といったことも必要です。すべて基礎から定義し直し、それらの性質を調べ、どこまで関数とのアナロジーが成立するのか等を確認して初めて証明に使えるようになります。質問者さんがこれらを既に習得済みなら、δ関数を使った証明でも構いません。

お礼

ヒントや補足まで詳しくありがとうございます。
まだ確率や統計の分野はやり始めたばかりなので、たまに解けない問題が出てきます。

方針が分かれば解けると思いますので、頑張ってみます。

回答No.3

reiman

p(u)：U≡sign(X)の密度関数
q(v)：V≡|X|の密度関数
r(u,v)：(U,V)の密度関数

p(u)=∫δ(u-sign(x))f(x)dx=(δ(u-1)+δ(u+1))/2
q(v)=∫δ(v-|x|)f(x)dx=0(v<0),2f(v)(0<v)

r(u,v)=∫dx∫dy・δ(u-sign(x))δ(v-|y|)f(x)f(y)
=∫δ(u-sign(x))f(x)dx∫δ(v-|y|)f(y)dy
=p(u)q(v)

よってUとVは独立

回答No.2

kamiyasiro

A，Bが独立であることを言うには、

同時確率　P（A∩B）＝P（A）×P（B）
であることを示すのが定石です。

回答No.1

Tacosan

なにがどうわからんのでしょうか?