確率変数が独立であることの証明

質問

「３つの確率変数　x1,x2,x3　が独立　⇒　u=x1+x2 と x3 は独立　」

という直感的には明らかな事実を厳密に証明したいのですが、
以下の証明で日本語表現も含めておかしな点はあるでしょうか？

(証明)
x1,x2,x3は独立なので、同時確率密度関数　P(x1,x2,x3) は
それぞれの密度関数の積で以下のように表される。

P(x1,x2,x3)=Q(x1)・R(x2)・S(x3) 　(※)

ここで、u=x1+x2 とし、uとx3の同時確率密度関数を φ(u,x3) とするとφ(u,x3)は(※)の式においてx1とx2の和がuになる組み合わせの確率の合計となる。
よって、

φ(u,x3)=∫[-∞～+∞]Q(u-t)R(t)S(x3)dt

=∫[-∞～+∞]Q(u-t)R(t)dt・S(x3)　となる。

これは、φ(u,x3)がuの関数と、x3の関数の積となることを示しており、
uとx3が独立であることが示された。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終

よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman

ヨイと思います。

お礼

ありがとうございました！