確率

質問

確率変数 X が、f(x) = ce^(-ax),　x>0,　a,c>0　を確率密度関数として持つとき、
(1)cをaで表せ。
(2)分布関数 F(x) = P(0<=X<=x)を求めよ。
という問題なのですが、(1)からもうどうしたらいいかわかりません。
どなたかおねがいします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは！

確率というのは、
すべての場合についての確率を全部足したら、
ちょうど１（＝１００％）になっていないとアウト、
というのは、わかりますよね。

つまり、
確率密度関数は、グラフに描いたときの面積が１でなくてはいけません。
ということは、ｘの全範囲で積分したものが１であればよいわけです。

∫ｃｅ^(-ax)　ｄｘ　＝　ｃｅ^(-ax)／（－ａ）　＋　Ｃｏｎｓｔ．
なので、
ｘ＝０　から　ｘ＝∞　までの定積分は、
ｃｅ^(-a・∞)／（－ａ）　－　ｃｅ^(-a・０)／（－ａ）　＝　１
０　－　ｃ×１／（－ａ）　＝　１

なんか、えらくシンプルな答えになりますね。
不安なので検算してみてください。

（２）の分布関数は何のことか忘れちゃいました。すみません。
ですけど、
シンプルそうな問題なので、
（１）でｆ（ｘ）がわかりましたから、取っ掛かりはできたと思います。
教科書で、基本部分の説明を読み返せば、何とかなるはずです。

ご参考に。

回答No.2

haberi

もとの関数を０から無限まで積分したら、＃１のおっしゃるとおり
１になり、途中まで積分したら分布関数になるんじゃないかな。
ですから、労力を惜しむなら（大して違いないけど）(2)を先にといてから
その式に無限大をいれると(1)の答えになると思います。