不定積分

質問

∫1/x√(1-x^2)dx

の問題で、解答が

変数変換t=√(1-x^2)を用いて、
(1/2)log｜(1-√(1-x^2))/(1+√(1+x^2))｜+C

となっているのですが、いまいち理解できません。途中の計算式を知りたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

t = √(1-x^2) と置けば、
dt/dx = -x/√(1-x^2) になりますから、
dx/dt = √(1-x^2)/(-x) です。
これを使って、

∫{ 1/(x√(1-x^2)) }dx = ∫{ 1/(x√(1-x^2)) }(dx/dt)dt　← ここがキモ
= ∫{ 1/(x√(1-x^2)) }{ √(1-x^2)/(-x) }dt
= ∫{ 1/(-x^2) }dt
= ∫{ 1/(t^2 - 1) }dt　← t^2 = 1-x^2 より
置換積分てのは、こうやってやるんです。

この続きは、基本どおり
∫{ 1/(t^2 - 1) }dt = ∫{ 1/((t-1)(t+1)) }dt
= ∫{ (1/2)/(t-1) - (1/2)/(t+1)) }dt
= (1/2) ∫{ 1/(t-1) }dt - (1/2) ∫{ 1/(t+1) }dt
= (1/2) log|t-1| - (1/2) log|t+1| + (積分定数)
= (1/2) log( |t-1|/|t+1| ) + (積分定数)
t を消去すれば、質問文中の答えになります。

置換をするのなら、
t = √(1-x^2) よりも、
x = sin u のほうが簡単かとは思いますが…

お礼

このように置換積分を行うのですね。
持っている教科書の内容が難しくて、上手く理解できていませんでした。
助かりました、ありがとうございます。