不定積分

質問

∫√(a^2-x^2)dx
についての解答が

x=asintとおいて、
1/2{x√(a^2-x^2)+a^2*arcsin(x/a)}+C

となっているのですが、途中の計算式が分かりません。教えて頂けないでしょうか。

回答No.1

k14i12d · ベストアンサー

x=a sin t とおくと、
与式=～√ａ^2-(a^2)(sin t)^2～=～a√1-(sin t)^2～=～a cos t～ ←(1)

となります。なかみの計算に重点をおいてるようなので、∫などは省きました。ところで、dx=a cos t dtより、
(1)= ∫a^(2)(cos t)^2 dt
=(1/2)a^(2) ∫(cos2t+1) dt
=(1/4)a^(2)sin2t+(1/2)a^(2)tをえます。
これを、逆関数arcsinで置き換えると、でるはずです。置き換えるところもわからないならまた聞いて下さい。

お礼

ありがとうございます！
理解できました。

置換積分を使った計算にまだ慣れてなくて、、、数をこなすしかないですね！頑張ります！