センターの過去問解説お願いします

質問

ベクトルの問題です。いっぺんの長さが１の立方体ABCD－A'B'C'D'において、AB、CC'、D'A'上にa:(1-a)となる点をそれぞれP,Q,Rと置きました。次に、C'D'上にSQ＝SRとなる点Sをおきます。
このとき、点SはC'D'をどのような比で内分するか、という問題です。

今使用している参考書によると、数学的なセンスで・・・とか書いてあるのですが、ちゃんと計算して求められるようになりたいです。できれば短時間で出来る解法を教えてください。

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

＞点SはC'D'をx:(1-x)で内分するとすると、
面CC'D'D内で三平方の定理により、SQ^2=C'Q^2+C'S^2だから
SQ^2=(1-a)^2+x^2
面A'B'C'D'内で三平方の定理により、SR^2=D'S^2+D'R^2だから
SR^2=(1-x)^2+a^2
SQ^2=SR^2だから
(1-a)^2+x^2=(1-x)^2+a^2
1-2a+a^2+x^2=1-2x+x^2+a^2、-2a=-2x、x=aだから、
内分比はa:(1-a)・・・答
＞どうしてもベクトルを使いたいなら、
ベクトルAを↑A、ベクトルの内積を↑・↑で表すと、
↑SQ+↑QC'+↑C'S=0だから↑SQ=-↑QC'-↑C'S=-(1-a)↑CC'-↑C'S
↑SR+↑RD'+↑D'S=0だから↑SR=-↑RD'-↑D'S=-a↑A'D'-↑D'S
|↑SQ|^2=↑SQ・↑SQ=(-(1-a)↑CC'-↑C'S)・(-(1-a)↑CC'-↑C'S)
=(1-a)^2(↑CC'・↑CC')+2(1-a)(↑CC'・↑C'S)+↑C'S・↑C'S
ここで、↑CC'・↑CC'=|↑CC'|^2=1、↑C'S・↑C'S=|↑C'S|^2
↑CC'・↑C'S=|↑CC'|*|↑C'S|cos∠CC'S=|↑CC'|*|↑C'S|cosπ/2=0
だから、|↑SQ|^2=(1-a)^2+|↑C'S|^2
|↑SR|^2=↑SR・↑SR=(-a↑A'D'-↑D'S)・(-a↑A'D'-↑D'S)
=a^2(↑A'D'・↑A'D')+2a(↑A'D'・↑D'S)+↑D'S・↑D'S
ここで、↑A'D'・↑A'D'=|↑A'D'|^2=1、↑D'S・↑D'S=|↑D'S|^2
↑A'D'・↑D'S=|↑A'D'|*|↑D'S|cos∠A'D'S=|↑A'D'|*|↑D'S|cosπ/2=0
だから|↑SR|^2=a^2+|↑D'S|^2
|↑SQ|^2=SQ^2、|↑C'S|^2=C'S^2、|↑SR|^2=SR^2、|↑D'S|^2=DS^2
SQ=SRなので、SQ^2=SR^2
よって、(1-a)^2+C'S^2=a^2+D'S^2、(1-a)^2-a^2=D'S^2-C'S^2
(1-a-a)(1-a+a)=(D'S-C'S)(D'S+C'S)
1-2a=(D'S-C'S) (D'S+C'S=C'D'=1だから)
1-2a=1-C'S-C'S=1-2C'S、C'S=a、D'S=1-C'S=1-a
よって点SはC'D'をa:(1-a)に内分する。

お礼

そうか・・・「点SはC'D'をx:(1-x)で内分するとする」とすればよかったんですね・・・気づけばよかった。

あー、やってしまった。

回答No.4

Tacosan

なるほど, それが一番簡単ですね＞#3.

お礼

ですねー。

回答No.3

naniwacchi

三平方の定理でいいんじゃないですか？

お礼

回答ありがとうございます。
No5さんが完全に答えを出してくださりました。

回答No.2

yoshi0g3

ちょっと難しい話をするとベクトルって高次元の数なんですよ。一次元が数直線上の点、それ以上の次元では座標系上で原点から引っ張ってきた矢印(ベクトル)で数を表します。(例えば二次元は複素平面)また、多次元図形を数式化して代数計算に持ち込むことができる非常に便利なアイテムなんですね。なのであなたの計算して求められるようになりたいというのは非常によい考えです。ベクトルの問題ってもちろん図形的考察から解くこともできますが上記のことから代数計算したほうが変に頭使わなくてすみます。

さて、無駄に前置きが長くなりましたが、ヒントは与えました。要するに座標を設定してくださいということです。今回の直方体ならばA'を原点にしてそこから三次元の座標を設定すれば楽に解けそうです。

お礼

回答ありがとうございます
代数学は最高です。幾何だのトポロジだのは・・・。
やっぱり座標ですかねえ・・・。

回答No.1

Tacosan

ん～, 座標を導入すれば難しくないような....

お礼

回答ありがとうございます。
まあ、たしかにその手はあると思いますが時間的に結構厳しいのではないかと・・・。