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原点Oを中心とする半径1の円周上

に4点A、B、C、Dがあり、OC↑=-OA↑とAB=1を満たしている 線分ABをt:1-t(0<t<1)に内分する点をPとして、線分CPと線分OBの交点をQとする (1)OQ↑をtとOB↑を用いて表せ (2)OA↑+√3(OQ↑+OD↑)=0↑が成り立つとき、tの値と四角形ABCDの面積を求めよ 解法を教えてください!

noname#175619
noname#175619

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  • 回答No.2
  • yyssaa
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(1)OQ↑をtとOB↑を用いて表せ >△ABCにメネラウスの定理を適用すると(BP/PA)*(AC/CO)*(OQ/QB)=1 だから(OQ/QB)=(PA/BP)*(CO/AC)={t/(1-t)}*(1/2)=t/(2-2t)、 OQ/OB=OQ/(OQ+QB)=1/(1+QB/OQ)=1/{1+(2-2t)/t}=t/(2-t)、 よって、OQ↑={t/(2-t)}OB↑・・・答 (2)OA↑+√3(OQ↑+OD↑)=0↑が成り立つとき、tの値と四角形ABCDの面積を求めよ >OC↑=-OA↑だからOQ↑+OD↑=(1/√3)OC↑、↑OD=↑QRとすると OQ↑+↑QR=(1/√3)OC↑から点Rは線分OC上の点となり、△OQRは QR=OD=1、OR=1/√3、OQ=t/(2-t)、∠QOR=2π/3の三角形(△OABは 正三角形)となるので、余弦定理QR^2=OQ^2+OR^2-2OQ*ORcos2π/3 より、1=OQ^2+1/3+OQ(1/√3)、 OQ=t/(2-t)を代入して整理すると、(1-√3)t^2+(8+2√3)t-8=0 有理化してt^2-(7+5√3)t+4(1+√3)=0、これを解いて t=[(7+5√3)±√{(7+5√3)^2-4*4(1+√3)}]/2 ={(7+5√3)±√(108+54√3)}/2={(7+5√3)±(9+3√3)}/2 0<t<1だからt=-1+√3・・・答 四角形ABCDの面積=△ABCの面積+△ACDの面積 △ABCの面積=(1/2)AB*ACsinπ/3=(1/2)*1*2*(√3)/2=(√3)/2 点Dから線分ACに下ろした垂線の長さは点Qから線分ACに下ろした 垂線の長さに等しく、{t/(2-t)}sinπ/3={t/(2-t)}*(√3)/2 ={(-1+√3)/(3-√3)}*(√3)/2=1/2 よって、△ACDの面積=(1/2)*2*(1/2)=1/2 よって、四角形ABCDの面積=(√3)/2+1/2=(1+√3)/2・・・答

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  • 回答No.1
  • USB99
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計算違い? 問題の記載ミス? Qが線分0BをK:1―Kに分けるとするとメネラウスの定理より 1/2・(1ーK)/K・t/(1―t)= 1 k =t/(2-t) ∴OQ=t/(t―2)OB OA=a、OB=bとすると a+√3OQ=ー√3 OD OQ=kbとして√3/3a+ kb=-OD 内積をとると a^2/3+k^2b^2+2√3/3a・b= 1 a^2=1、b^2=1、a・b= 1・1・cos3/兀=√3/2より 1/3十K^2+ k = 1 3k^2+3 k―2 =0 あれっ解けない。 やり方はいいと思うけど

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