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大学数学の微分の問題です。
次の関数についてf'(x)が存在するか調べよ。 また存在する場合にはf'(x)の値を求めよ。 f(x)=a^x-b^x という問題です。
- gotyogotyo
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場合分けするなら、1 よりも 0 かどうかでしょう。 log a, log b が存在する範囲… すなわち a≠0 かつ b≠0 の場合は、普通に、 f(x) = a^x - b^x より f’(x) = (a^x)(log a) - (b^x)(log b) で、 変わったところはありません。 ただし、a, b が正の実数でない場合には、 a^x, b^x の枝選択に対応して、 (a^x)(log a), (b^x)(log b) の枝を適切に 選ぶ必要があります。 a=0 または b=0 の場合には、 f(x) は x≠0 でのみ定義され、 その範囲で、f'(x) は以下のようになります。 a≠0, b=0 の場合は、 f(x) = a^x - 0 より f’(x) = (a^x)(log a)。 a=0, b≠0 の場合は、 f(x) = b^x - 0 より f’(x) = (b^x)(log b)。 a=0, b=0 の場合は、 f(x) = 0 より f’(x) = 0。 a=0 または b=0 の場合、 f'(0) は定義されません。
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- info22_
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a>0,b>0であるとして aについて 「0<a<1 or a>1」,「a=1」で場合分けする。 bについて 「0<a<1 or a>1」,「a=1」で場合分けする。 a=1の時 a^x=1^x=1 b=1の時 b^x=1^x=1 0<a<1,a>1(a≠0)の時 a^x=e^(xlog(a)),(a^x)'=log(a)*a^x 0<b<1,b>1(b≠0)の時 b^x=e^(xlog(b)),(b^x)'=log(b)*b^x 従って4通りに場合分けすればよい。 a=b=1の時 f(x)=a^x-b^x=1-1=0 → f'(x)=0 ...(■) a≠1,b≠1の時 a^x=e^(xlog(a)),b^x=e^(xlog(b)) → f'(x)=log(a)*a^x-blog(b)*b^x ...(★) a≠1,b=1の時 a^x=e^(xlog(a)),b^x=1 → f'(x)=log(a)*a^x ...(※) a=1,b≠1の時 a^x=1,b^x=e^(xlog(b)) → f'(x)=-blog(b)*b^x ...(☆) 以上をまとめると a>0,b>0(指数関数の条件)の下では f'(x)=(a^x)log(a)-(b^x)log(b) となることが分かる。
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