漸化式を解く問題なのですが。

質問

この漸化式、nに具体的に数値をいれていくと簡単に法則性が見つかって、数学的帰納法で一般項は出るのですが。
式変形をして等比数列の形に持って行って解くなどの解き方はありませんかね？
言い換えると
具体的に数値代入→規則性発見→帰納法で証明
以外の一般項の導き方はありませんか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

a[1] = 1/2,
a[n+1] = 1/(2 - a[n])
ですね。

y[n+1] = x[n],
x[n+1] = 2x[n] - y[n]
と置くと、
a[n+1] = y[n] / x[n]
が問題の漸化式を満たしています。

初期条件は、a[1] = y[1] / x[1] を
満たすように適当に定めます。
y[1] = 1, x[1] = 2 でよいかな。

線型漸化式に翻訳されたので、あとは、

ベクトル (x[ ],y[ ]) の漸化式と見て
係数行列のべき乗を求めてもよいし、

x[ ], y[ ] の一方を消去して、
三項間漸化式を解いてもよい。

y[ ] を消去すると、
x[n+1] - 2x[n] + x[n-1] = 0.

これを
x[n+1] - x[n] = x[n] - x[n-1]
と変形すれば、等差数列と判って
x[n] = x[1] + (x[2] - x[1])(n - 1)
　　= 2 + (3 - 2)(n - 1)
　　= n + 1
と解けます。

a[n] = y[n] / x[n]
　　= x[n-1] / x[n]
　　= {(n-1) + 1} / {n + 1}
　　= n/(n+1)
です。

お礼

かなり面倒くさいことになるんですね(^_^;)
ありがとうございます。

回答No.1

info22_

>この漸化式
この漸化式って、書き忘れていませんか？

補足

忘れてました。
http://sphotos-h.ak.fbcdn.net/hphotos-ak-ash4/205303_347988515300642_1435205735_n.jpg
これです。