• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

Σの公式、階差数列、数学的帰納法、恒等式、漸化式が分かりません

僕は数学検定の準2級(高校2年レベル)を受けるのですが、 Σの公式、階差数列、数学的帰納法、恒等式、漸化式がよく分かりません。 具体的に言うと、 @Σの公式 ・Σの上にある数字は、何を表しているのですか? ・Σの下にあるk=1とはなんですか?kとは初項のことですか? @階差数列 ・階差数列そのものの意味が分かりません。どんな数列のことを言うんですか? @数学的帰納法 ・数学的帰納法は「数列の証明をする時に使う物」という解釈で良いのでしょうか? ・n=kの時と有りますが、kとは何ですか? @恒等式、漸化式 ・恒等式、漸化式そのものがよく分かりません。  どんな時に使うものなのですか? このうち1つだけでも良いので、誰か教えて下さいおねがいします。 中3なので、分かりやすく教えてもらえると助かります。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数6
  • 閲覧数2206
  • ありがとう数11

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.6
  • at9_am
  • ベストアンサー率40% (1540/3759)

#4です。補足します。 a)k=a について命題が成り立つことを示す(a は整数)。通常、a=1 であることが多い。 b)k=n の時に成り立つことを前提に、k=n+1 で成り立つことを示す。 紛らわしいので(1)...を(a)...に変更しました。すると質問者の方の参考書とは次のような対応になります。 1)n=1のときに成り立つことを示す。(a) 2)n=kで成り立つと仮定する。(b前半) 3)n=k+1でも成り立つことを示す。(b後半) 4)すべての自然数nで成り立つ。(結論) この時の k や n は、数列の和などとは関係ありません。i やαでも良いですが、慣例として k や n が使われることが多いだけです。 2)は単純に「n = k のとき命題が成り立つ」と仮定しているだけです。ですから、この時点では本当に成り立っているかどうかは分かりません。 3)では、「n=k の時に成り立っている」という条件の下で「n=k+1 で命題が成り立っている」ことを示します。 2)と3)を合わせると、n=1 が成り立っているので n=2 が成り立つ、n=2 が成り立っているので n=3 が成り立つ、...という形で全ての1以上の整数(自然数)で命題が成り立つことがわかるので、「すべての自然数nで成り立つ」という命題が証明されたことになります。 > 一般項Anを類推しなさい、という問題もありましたが、これは一般項Anを求めよと同じことを指しているのですか? その通りです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >この時の k や n は、数列の和などとは関係ありません。 >i やαでも良いですが、慣例として k や n が使われることが多いだけです。 なるほど・・ということは、kやnにはどの自然数も当てはまり、 特に条件がある数ではない、ということですよね? 何度も親切に答えてくださり、本当にありがとうございます(^^

関連するQ&A

  • 数学的帰納法の問題です

    a↓n=1/2!+2/3!+3/4!+……+n/(n+1)とする 数列{a↓n}の一般項を推測し、その推測が正しいことを数学的帰納法により証明せよ。 きちんと数学的帰納法のやり方はわかっていると思うのですが… お願いします!

  • 漸化式と数学的帰納法

    問題集をやっていたらわからないところ2つがあったで誰かわかる方教えてください。途中までやったのですがわからなくなりました。 数列はa(1)、 a(2)、と表しています。 一般項を求めなさいという問題で (1)a(1)=2,a(n+1)=a(n)+n^2-2n(n=1,2,3…) (2)a(1)=2,a(n+1)=3(an)-1(n=1,2,3…) の問題ですが途中まで解いたのを書いておきます。 (1)漸化式よりすべての自然数kについて次の式が成り立つ。 a(k+1)-a(k)=k^2-2k よって数列{a}の階差数列の第k項はk^2-2kであるから n≧2 a(n)=a(1)+Σ{k^2-2k} ここまで解けたたのですがここらかがわかりません。 Σはn-1のk=1です。 (2) n=k+1とすると a(k+2)=3a(k+1)-1 n=kとすると  a(k+1)=3a(k)-1 この2辺の辺々と引くと a(k+2)-a(k+1)=3{a(k+1)-a(k)}…(1) 数列{a(n)}は階差数列を{b(n)}とすると(1)は b(n+1)=3b(k) となる。{b(n)}は公比3の等比数列であり、また、 b(1)=a(2)-a(1)=5-2=3 b(k)=3・3^k-1 したがって、n≧2のとき a(n)=a(1)+Σb(k)=2・Σ3・3^k-1 ここまで解けたたのですがここらかがわかりません。 Σはn-1のk=1です。 両方とも途中までは一応やったのですが途中までもあっているかわかりません。 誰か判る方がいましたら教えてください。

  • 数学の恒等式について

    数学の恒等式について x>2+xy-12y>2-3x+23y+a =(x-3y+b)(x+4y+c) これがxについての恒等式になるようにa.b.cの値を求めよ。 という問題があり、 左辺をxの項.yの項.xyの項と整理して、右辺もxの項.yの項と整理しました(右辺はxyの項は出ませんでした) 私はそこからx.yについての恒等式だからとそのまま係数比較したのですが、回答は一旦整理した式をxについての恒等式として係数比較し、係数比較によって出てきた式をyの恒等式としてもう一度係数比較し計算していました。 私のようにいきなりx.yの恒等式として係数比較するのは間違いでしょうか?

その他の回答 (5)

  • 回答No.5

>>人に聞いたほうが速いと思って質問してみました。 これは逆です。 まず、高校数学の参考書(チャート式など)できちんと勉強するのが最も早道だと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 参考書買わないとやはりマズいみたいですね(^^; 検討してみます。

  • 回答No.4
  • at9_am
  • ベストアンサー率40% (1540/3759)

Σについては#1の方が回答されているので割愛。ただし、A(k) を 1 から n まで足した物ですので、  n  ΣA(k) = A(1) + A(2) + A(3) +…+ A(n-1) + A(n)  k=1 の打ち間違いですね。 数列というのは単に数がある規則で並んでいるものを指しますが、階差数列は、例えば数列 A(n) の階差 A(n)-A(n-1) が別の数列 B(n) になっている場合を指します。したがって、 A(n) - A(n-1) = B(n) A(n) = B(n) + A(n-1) = B(n) + B(n-1) + A(n-2) = ... = B(n) + ... + B(1) + A(0) という関係を導くことが出来ます。 数学的帰納法は、 1)k=a について命題が成り立つことを示す(a は整数)。通常、a=1 であることが多い。 2)k=n の時に成り立つことを前提に、k=n+1 で成り立つことを示す。 という手順で行われます。この結果、k=1 が成り立っているならば k=2 でも成り立つ、k=2 でも成り立つならば k=3 でも成り立つ、・・・というように、a より大きい全ての整数で成り立つことを示すことが出来ます。 数列以外にも証明で使うことがあります。 恒等式は「常に等しい」という関係式です。 例えば、財布に1000円入っていて、120円の缶コーヒーを買うと残りは880円です。これを数式で表すと、最初に持っていた金額を a 円、使った金額を b 円、残っている金額を c 円とした場合、 a = b + c は常に成り立ちます。このような式のことを恒等式といいます。 漸化式とは、数列で A(n) = αA(n-1) + βA(n-2) のように、A(n) がそれ以前の項 (A(n-1) や A(n-2) 等) によって決まるとき、その関係式です。 高校では、例で上げたような漸化式が与えられたとき、一般項を求めよ、というような問題が典型的ですね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 恒等式とΣの公式、階差数列は(恐らく)理解できました。 理解は出来たのですが、やり方を忘れそうで恐いですorz >数学的帰納法 僕の参考書では、このように書かれていました。 1)n=1のときに成り立つことを示す。 2)n=kで成り立つと仮定する。 3)n=k+1でも成り立つことを示す。 4)すべての自然数nで成り立つ。 ここでのnは、Σの時と同じように「第n項まで」、 kは「第k項から」という意味でしょうか? だとしたら、n=kというのは同じ項で成り立つということでしょうか? >漸化式 >A(n) がそれ以前の項 (A(n-1) や A(n-2) 等) によって決まるとき、その関係式です。 なるほど・・。そういうことだったんですね(^^; 一般項Anを類推しなさい、という問題もありましたが、 これは一般項Anを求めよと同じことを指しているのですか?

  • 回答No.3

階差数列とは、その名の通りある数列の差を取った数列です。以下のような時に使います。 仮に、1,1,3,7,13,21…という数列の一般項を求めよという問題があったとします。 この問題は、階差数列を使うと簡単になります。 具体的に求めると、この数列の階差数列は、0,2,4,6,8…と等差数列になります。 これにより元の数列の一般項を求めるのですが、 Σの計算が出てくるので、まずΣの意味をしっかりと理解してから考えないと混乱してしまうと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >1,1,3,7,13,21…という数列の一般項を求めよという問題があったとします。 >この数列の階差数列は、0,2,4,6,8…と等差数列になります。 1から1まで0増えているから「0」、1から3まで2鰾ているから「2」、 という感じですよね? 参考書を見ると、 n-1 An=a1+ΣBk(n≧2)    k=1 と書かれていました。(ずれていたらごめんなさい) 階差数列の問題を解きまくってどうにかマスターしてみます。

  • 回答No.2

>>Σの上にある数字は、何を表しているのですか? >>Σの下にあるk=1とはなんですか?kとは初項のことですか? Σ記号のしたのk=1は、『数列の初項から和を計算する』ことを示しています。ですから、場合によってはk=2だったりk=x+1とかだったりすることもあるかと思います。 一方、Σ記号の上のnは『第n項までの和を計算する』ということです。 たとえば、数列{1,3,5,7,・・・}←一般項は2n-1 で、Σ記号の下がk=1、上が5だとしたら、その値は1+3+5+7+9=25ですね。高校数学の教科書に載っている公式流なら2*1/2*5*(5+1)-5=25 といったところですかね。 >>このうち1つだけでも良いので、誰か教えて下さいおねがいします。 とりあえず、Σのことはこんなもんでしょう。他の説明も自分なりには出来ると思いますが、わからない部分が多いようですし、高校数学の参考書を片手にやったほうが効率いいかもしれません(テキストなしの独学でやられているようならばですが)。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >Σ記号のしたのk=1は、『数列の初項から和を計算する』ことを示しています。 なるほど、そうだったんですか(^^; ということは、k=5だったら、 数列の5番目から和を計算するということになるのでしょうか? >Σ記号の上のnは『第n項までの和を計算する』ということです。 なるほど・・第n項までの和を計算するということだったんですね。 ということは、k=5でn=20だったら、 第5項~第20項までの和を計算するという意味になるのでしょうか? >高校数学の参考書を片手にやったほうが効率いいかもしれません >(テキストなしの独学でやられているようならばですが)。 数検の参考書を見ながら勉強しているのですが、 いまいちよく分からない部分がいくつかあります・・(^^; 本当は高校数学の基礎の基礎から勉強したほうが良いのだとは思うのですが、 本番まであと3日程度しかないので・・(^^; 人に聞いたほうが速いと思って質問してみました。

  • 回答No.1

Σについて。ここで(1)の式があったとします。  n  ΣA(k)  ------(1)  k=1 A(k)は、kの関数で変数kに値を入れることでA(k)も変化すると考えてください。 k=1とnは、シグマの後に続くA(k)のkに1~nまでの値を代入していき、その総和を求めるということになります。よって(1)は  n  ΣA(k) = A(1) + A(2) + A(3) +…+ A(k-1) + A(k)  k=1 となります。 こんな具合でいいでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >シグマの後に続くA(k)のkに1~nまでの値を代入していき、 >その総和を求めるということになります。 なるほど、kに最初の数から代入していくんですね。 その前に、nって「n番目の数まで」という意味だったんですね(^^; しかし、k=5だったらどうやって求めればいいのでしょうか・・? 数検の問題にあったのですが、答えを見てもやり方がいまいち分かりません(^^;

関連するQ&A

  • 数学的帰納法以外の解き方

    漸化式 a[n]=4, a[n+1]=3a[n]^2+4a[n]+3 (n=1,2....) で定まる整数の数列{a[n]}を考える。このときa[n]-4が7で割り切れる ことを証明せよ。 という問題なのですが,数学的帰納法以外で解く方法を教えていただけないでしょうか? お願いします!

  • 数学的帰納法について

    1.漸化式、a_1=1、a_(k+1)=a_k/1+a_kで表される一般項a_nをa_2、a_3、a_4の値から推測し、その予想が正しいことを数学的帰納法で証明せよ。 2.円周上に異なるn個の点をとるとき、これらを結んでできる線分の個数をa_nとする。a_1=0である。 (1)a_k+1とa_kの関係を求めよ。 →答えは、「a_(k+1)=a_k+k」となったのですが、その過程が自信ないのでお願いします。 (2)a_nをnの式で表せ →これも、答えは、「a_n=n(n-1)/2」となったのですが、その過程が自信ないのでお願いします。 最後になりましたが、そもそも「数学的帰納法」とはなんなのでしょうか? なぜ、これを使うと証明ができるのか・・・も併せて教えて頂けると勉強になります。よろしくお願いします。

  • 数学的帰納法を使えないとき

    数学的帰納法を使うことができないときはどのようなときなのでしょうか? 基本的に数列の問題ならば解けますか?

  • 数学的帰納法について

    数学的帰納法の例題の答えを読んでいると、しばしば 漸化式において n=kのとき成り立つと仮定して n=k+1のときを考えることで、与えられた漸化式より解いていくようになっている思うのですが、 この日本語の書き方を見る限り、n=k+1としたときは、例題の答えのように与えられた漸化式の左辺はaのk+1にはならず、aのk+2になってはしまいませんか? わかりにくい文章で、申し訳ありません。 理解できなければ御指摘ください。 よろしくお願いします

  • 数学的帰納法の問題です。

    数列{an}が、a1=1/2 a2=1/6 [an+a(n+1)+a(n+2)]/3=1/[n(n+3)] を満たしている。 (1)a3 ,a4を求めよ。 (2)anを推定し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 上のような問題に出くわし、困っています…。 (1)は、私の計算が正しければ、 a3=1/12 ,a4=1/20 となり、 一般項は、an=1/[n^2+n] と推定できると思うのです…が、どう証明をしていいのかが分かりません。 読みにくくて申し訳ないですが、どなたか詳しい方、回答お願いします。

  • 練習問題のサイト探しています!

    数学Aの 分数の数列の和 数列の和と一般項 階差数列 漸化式で決まる数列 数学的帰納法 数学的帰納法による証明 一般項の推定と数学的帰納法 二項定理の応用 などの練習問題があるサイトを探しています! 大至急お願いします!

  • 数学的帰納法で

    お世話になっております。些細な事なのですが、数学的帰納法からの質問です。 ある参考書に、数学的帰納法で証明する第2段階目の記述で、「k≧1」がありました。これは意味的には「kは1以上の実数」という事になると思うのですが、実際数学的帰納法では、kは「任意の自然数」を指していると解釈しているのですが、教科書の例では特に用いるkに対してその範囲を明示していないようです。この場合kは任意の自然数と但書きすべきか、先述のようにk≧1で良いのか、記述についてご存じの方いらっしゃいましたらお教え下さい。宜しくお願い致します。

  • ラグランジュの恒等式とは何ですか

    高校への数学 数式の演習 という問題集に早稲田実業高校の入試問題が掲載されており、解説を見てみると「ラグランジュの恒等式」という聞きなれない用語が書いてありました。(そんな恒等式のことは特に意識せずに早稲田の問題にしてはかなり簡単に解ける標準問題のはずなのですが…。) Wikipediaや旺文社の数学解答辞典、さらには数研社の青チャートで調べてみたものの、ラグランジュの恒等式に関する記述は一切ありませんでした。ですから、ラグランジュの恒等式がどういった形をしているのかは知っているのですが、それがどのような意味をもち、どのような特性をもった恒等式なのかが理解しかねます。 恒等式に名前をつけるぐらいですから、きっと深い意味があるのだと察していますが、実際のところはどうなんでしょうか。 現中3、4月から新高1の未熟な私にも分かるように教えてもらえませんか。 また、こうした場所で私立高校の入試問題を記載したりするのは違法でしょうか。学校が作った問題なので著作権法に触れるようでしたらと思い、問題文は伏せさせて頂きました。 難関私立高校の入試問題に出題されるということは、高校1年もしくは2年の数学(I,II or A,B)の履修分野であるのでしょうか。そうでしたら、高1の青チャートに載っていなくても、高2の赤チャート辺りには記載されているのでしょうか。

  • 数学的帰納法

    数列anを a1=1, a2=1, an=an-2+an-1(n=3,4,5) で定義する。 このとき、すべての正の整数に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 という問題で 解答では n=1,2のとき成り立つことを示して n=k,k+1のとき成り立つと仮定して n=k+2のとき成り立つことを示す と書いてあるのですが、 n=1のとき成り立つ、 n=kのとき成り立つと仮定、 n=k+1のとき成り立つ にしないのはなぜですか? 教えてください お願いします!!m(_ _)m

  • 数学的帰納法について

    数学的帰納法についての問題で、ちょっと悩んでいますので、 どなたかお教えください><; とある、国立医学科の問題です。 「 a,bを負でない整数とし、a>bとする。 a1=a, a2=b, a(n+2)=la(n+1)-anl (n=1,2,3・・・)によって定義される 数列{an}について、次の問いに答えよ。 q,rを負でない整数として、a=(2q+1)b+r,r<bとする。 このとき、初めてan=rとなるnを求めよ。 」 との問題で回答が以下のようにようなっています。 「 m=1,2,3・・・,q+1 に対して  a(3m-2) = {2q+1-2(m-1)}b+r  a(3m-1) = b  a(3m) = {2q-2(m-1)}b+r が成り立つことを数学的帰納法により示す。 n=1の時、、、、と以下解説が続くのですが、 ここで質問です><; 何で、最初の一行が 「m=1,2,3・・・,q+1」となっているのでしょうか? 「m=1,2,3・・・」ではダメなんでしょうか? どの参考書、問題集を見ても、 「m=1,2,3・・・」となっているんですが、こうしたらダメなんでしょうか? 赤本の解説以外に、東進の解説も確認したら、全く同じようになっていました。 また、仮定条件の時には 「m=k(k=1,2,3・・・q)のとき、成立すると仮定する」と書いてありますが、 「m=k(k=1,2,3・・・)」じゃダメなんでしょうか? 何で、 「q+1」や「q」までとなっているのでしょう? しかも、「q」は「a=(2q+1)b+r」の中で使用されている文字なのに、、、、、 さっぱり分かりません。(/_<。) どなたか教えてください(>_<。)HelpMe!!