a^0=1 の証明（改）

質問

以前質問し、そこで指摘された所を修正してみました。
間違えてる点があれば、さらに指摘してください。

-- ここから --
指数関数は、以下の規則により定義されている。ただし、底と指数及び値域は実数とする。
(1) a^1 = a
(2) a^p a^q = a^(p+q)
(3) 連続関数である
※定義域は、(3) が満たされる範囲により決定される。

まず、p ≠ 0 での 0^p と 0^0 の関係を確認しておく。

後で述べる理由により (2) を無条件には使えないので、未知の値が１つの場合のみ有効と考える。
・ (1) より 0^1 = 0
・ p > 0, q > 0 で考えて (2),(3) より p > 0 に対し 0^p = 0

未知の値を (2) で求めるには、左辺の a^p として求める方法と、右辺として求める方法が考えられる。
前者の場合 q > 0, p > -q とすると
0^p × 0 = 0
が得られるが、この式から 0^p は求められない。
後者の場合 q > 0, p = -q とすると
0^p × 0 = 0^0
が得られるが、0^p が未知なので、この式から 0^0 は求められない。
よって、既知の 0^p から 0^0 を求める方法は存在しない。

また、q = 0 として
0^p 0^0 = 0^p
が得られるが、p > 0 に対し 0^p = 0 であるから、この式は 0^0 が何であっても成立する。

さて、ここまでの結果により、0^0 を求めるには
0^0 = 定数
という形の規則が新たに必要なことが分かった。

ここからはこの式を求めるために
a^-1 ≠ 0
を前提として考える。
ただし、これを指数関数の定義に加えるという意味ではなく、通常の数学なら成立すべき条件であるから、結果の判定に利用するのである。

a^0 に対し、次の関係式が成り立つ。
a^0 a^0 = a^0 より a^0 (a^0 - 1) = 0
よって、a^0 は 0 または 1 である。

a^0 = 0 とするなら
a^1 a^0 = a^1
から a = a^1 = 0 でなければならないが、また同時に
a^p a^0 = a^p
から p = -1 を含めて a^p = 0 となり、これは前提に反する。
同様の結果は、連立方程式
a^-1 a^1 = a^0
a^-1 a^0 = a^-1
において a^1 = 0 とした場合にも生じる（これが未知数が２つ以上の指数法則を無効とする理由である）。

a^0 = 1 とするなら
a^p a^0 = a^p
は常に成立する。
この場合
0^-1 × 0 = 1
となる必要があるが、これは 0^-1 が実数ではない（＝未定義）ことを示している。
以上により、求めていた規則は
(4) 0^0 = 1 あるいは a^0 = 1
であることが証明された。
-- ここまで --

ところで、勘違いしないように付け加えておくと、これは既存の定義から 0^0 = 1 と証明したのではない。
0^0 を求められるように規則を変えるなら 0^0 = 1 でなければならないという証明である。
ただし、(4) を付け加えるならば 0^0 において連続にはならない。
よって、(3) も同時に変更する必要が生じる。

回答No.22

alice_44

←No.21「お礼」欄
＞ なら、0^0=1 とだけ定義してやれば、定義域は[0,0]だから、
＞ 0^p という関数として考えても、連続なのか。

どうも勘違いしているような気がする…

「0^0=1 とだけ定義してやれば、定義域は[0,0]だから、連続」は、
定義域が [0,0] だけであれば、A No.21 の理由で成り立つが、
「0^p という関数として考えても」それが成り立つためには、
関数 0^p の定義域において [0,0] が孤立していなければならない。
p を有理数に制限しても、p=0 の近傍に定義域の点が稠密であれば、
A No.21 と同じ訳にはいかない。

以前から、「連続性は重視しない」というコメントを繰り返しているが、
重視しないというより、連続性が何だかよく解ってないのではないか？

お礼

> 「0^p という関数として考えても」それが成り立つためには、
> 関数 0^p の定義域において [0,0] が孤立していなければならない。
> p を有理数に制限しても、p=0 の近傍に定義域の点が稠密であれば、
> A No.21 と同じ訳にはいかない。

「p=0 の近傍に定義域の点が稠密である」を証明してください。
それを元に、0^0=1 が不連続だと証明してください。

> 連続性が何だかよく解ってないのではないか？

そうかも知れませんね。
だから、それがよく分かるように、ね。

回答ありがとうございました。

回答No.21

alice_44

＞ 閉区間[1,1]で考えた床関数は、点1で連続ですか？

実数から [1,1] ヘ入れた相対位相は、離散位相だから、
全ての関数が連続になる。床関数も、そのひとつ。
A No.19 のように基準を明確にすれば、群れて象を触る必要はない。

お礼

> 実数から [1,1] ヘ入れた相対位相は、離散位相だから、
> 全ての関数が連続になる。

そうかそうか。
なら、0^0=1 とだけ定義してやれば、定義域は[0,0]だから、0^p という関数として考えても、連続なのか。

当然関数a^0 と考えた場合も連続だから、[3+]a^p は二変数関数として連続 というのが成立しますね。
これで[3a]という条件は不要になりました。

まとめると、次のようになります。
・指数関数ではa=0という底では指数法則は成立しない。
・「a^p は二変数関数として連続」と要請すると、0^0=1 となる。

回答ありがとうございました。

回答No.20

alice_44

＞ 同じと別々の基準がさっぱり分からない。
＞ 定義域に依存しない連続性と定義域に依存する連続性が同じというのは、
＞ どんな意味で同じと言ってるのでしょうか？

同じ関数の連続性が定義域によって異なるのではなく、
定義域が異なれば、そもそも異なる関数なんだ…と言ってるんですがね。
A No.19 に、そう書いといたはずですよ。

学校では、そういう基本の解ってない教師が、罪もない生徒に
「次の関数の定義域を答えよ。(1) log x, (2) √x, …」とか
荒唐無稽な出題をして笑われたりする。それを笑わない、更にイタい人達もいる。
世の中は、イロイロです。

＞ 端点での
＞ a^p = lim[x→p+0]a^x
＞ と、内点での
＞ a^p = lim[x→p]a^x
＞ が同じ連続性を表すためには、連続性とは何かというのをもっと明確にする必要があると思うな。

「同じ連続性」という言いかたは、微妙だなあ。
p≧0 で定義された a^p の p=0 での連続性を、実数から p≧0 へ入れた相対位相で考える。
そう考えなきゃならんと決まったものではないけれど、そうするのが普通。
これも、趣味の問題になってしまうかな？

＞ そもそも#18の
＞ >閉領域または閉端を持つ領域での極限は
＞ > 全空間から領域へ入れた相対位相で考えるのが普通だから、
＞ は#16の
＞ > [3] を右連続性と解釈して、0^0 = lim[p→+0] 0^p = 0 と定義するのが自然。
＞ の言い換えに過ぎないと思ってるし。

その通り、その言い換えですよ。
閉端での連続性は、それを覆う開集合から入れた相対位相で処理しよう…と
繰り返し書いているんです。気づかなかったですか？

お礼

> 学校では、そういう基本の解ってない教師が、罪もない生徒に
> 「次の関数の定義域を答えよ。(1) log x, (2) √x, …」とか
> 荒唐無稽な出題をして笑われたりする。それを笑わない、更にイタい人達もいる。

「あなたが知ってる」と頭に付けて考えれば良い。
実数で答えるも良し、複素数で答えるも良し、もっと別の代数系で答えるも良し。

前にCMで、□＋□＝９　とかの穴埋めをさせてる外国の例を見た。
日本は、数学の答を一通りであるべきだと考えている人が多い気がした。

その教師が基本を解っていなくても、正解と不正解は存在する。
自分の知識を確認するには、それで十分だ。

よって、教師を笑う必要もないし、笑うのは教師に間違った期待をしてる人達だ。

> 「同じ連続性」という言いかたは、微妙だなあ。

やっぱり、「同じ連続性」の基準が無さそうだ。
だから、多分、次の質問には答えられないだろう。

閉区間[1,1]で考えた床関数は、点1で連続ですか？

回答ありがとうございました。

回答No.19

alice_44

＞ という理解でよろしいですか？

よいと思います。

＞ そして、３つはどれも同じ意味だということですか？

定義域が異なる、別個の関数の連続性を論じているのだから、
それぞれ結果が異なることに不自然はありません。

＞ だとすると、結果に２種類あるのが理解できない。

関数には、連続なものと不連続なものがある…というだけです。
2x+1 は x=0 で連続だが、1/x は x=0 で連続でないことにも、
同じように悩みますか？

閉区間[1,2]で考えた床関数と、
閉区間[0,1]で考えた床関数と、
開区間(0,2)で考えた床関数は、別々の関数ですよ。

お礼

> 閉区間[1,2]で考えた床関数と、
> 閉区間[0,1]で考えた床関数と、
> 開区間(0,2)で考えた床関数は、別々の関数ですよ。

別々ねぇ。
なら、閉区間で考えた連続性と開区間で考えた連続性も別々でしょう。

同じと別々の基準がさっぱり分からない。
定義域に依存しない連続性と定義域に依存する連続性が同じというのは、
どんな意味で同じと言ってるのでしょうか？

端点での
a^p = lim[x→p+0]a^x
と、内点での
a^p = lim[x→p]a^x
が同じ連続性を表すためには、連続性とは何かというのをもっと明確にする必要があると思うな。

そもそも#18の
> 閉領域または閉端を持つ領域での極限は
> 全空間から領域へ入れた相対位相で考えるのが普通だから、
は#16の
> [3] を右連続性と解釈して、0^0 = lim[p→+0] 0^p = 0 と定義するのが自然。
の言い換えに過ぎないと思ってるし。

回答ありがとうございました。

回答No.18

alice_44

＞ 閉区間の端点において連続とするためには
＞ a^p = lim[x→p+0]a^x
＞ と置かなくてはならないが、これは既に内点の連続性と意味が違っています。

そんなことはない。
(a,p) = (0,0) は定義域の閉端となるが、
閉領域または閉端を持つ領域での極限は
全空間から領域へ入れた相対位相で考えるのが普通だから、
内点での連続性には手を付けずに、a^p = lim[x→p]a^x としておけば、
(a,p) = (0,0) ではそのまま 0^0 = lim[x→+0]0^x となる。
あえて意味を変える必要はない。

お礼

床関数の連続性を考えます。

閉区間[1,2]で考えた場合、点1では連続で、
閉区間[0,1]で考えた場合、点1では不連続で、
開区間(0,2)で考えた場合、点1では不連続。

という理解でよろしいですか？

そして、３つはどれも同じ意味だということですか？
だとすると、結果に２種類あるのが理解できない。

回答ありがとうございました。

回答No.17

alice_44

[3] を採用しないなら、例えば、
p が無理数のときは a に依らず a^p = 1 とか
p が無理数のときは a に依らず a^p = 0 とかの定義でも、
[1][2] は十分成り立つし、a について連続になる。
問題は、そのような a^p が定義したいのかどうかだ。

そうではなく、a > 0 の範囲ではよく知られた所謂 a^p と
同じになるように…というのなら、そうなるような定義が
必要となる。それが [3] でなくても良いのだが…

もし [1][2][3] を採用するのであれば、前述のように、
必然的に 0^0 = 0 となる。

[1][2][3'][3a] を採用すれば、0^0 = 1 が導かれるが、
[3] を [3'] に弱めた後で [3a] を追加することは
[3] で統一することに比べ不自然ではないか？という
疑問が残る。

他に何かもっと簡潔で、しかも 0^0 = 1 が導けるような
[1][2][?] があるならば、その [?] を提案して欲しい。
以前に書かれた (3) 連続である が、[3] と同じ意味なのか、
他にどんな意味があるのか？も不明なままだし。

お礼

> [1][2][3'][3a] を採用すれば、0^0 = 1 が導かれるが、
> [3] を [3'] に弱めた後で [3a] を追加することは
> [3] で統一することに比べ不自然ではないか？という
> 疑問が残る。

閉区間の端点において連続とするためには
a^p = lim[x→p+0]a^x
と置かなくてはならないが、これは既に内点の連続性と意味が違っています。
つまり、[3] は連続性とは似て非なるものであり[3']とするのが妥当です。

一方で、べき乗に基づき指数関数が作られたことから考えれば、べき乗が持つ性質に反した値を定義することは避けるべきです。
べき乗には、[3a]という連続性が見られますから、指数関数でもそれを仮定するのは不自然ではありません。

回答ありがとうございました。

回答No.16

alice_44

←A No.14「お礼」欄
＞また、好みの問題になりましたね。

何度か書いているが、結局、好み問題なのかなあ…と。

べき乗を定義する方法は何通りかあるが、
[1] a^1 = a
[2] a^(p+q) = (a^p)(a^q)
は、基本となるところ。だが、これだけでは、
p が有理数の範囲でしか a^p は定義されないから、
実関数へ拡張するためには、無理数 p に対する a^p の
値を決めるための条件を何か付け足すことになる。

[3] a^p は p について連続
を足すことが多いのだが、そう要請して
なるべく広い定義域をとろうとすると、
a = 0, p < 0 では a^p を定義しようがないことから、
定義域の閉端となる a = p = 0 では [3] を右連続性と
解釈して、0^0 = lim[p→+0] 0^p = 0 と定義するのが自然。
この定義の下で、[2] は定義域全域で成り立つ。

[3] より更に強く、[3+] a^p は二変数関数として連続
を要請する立場もあり、その場合には 0^0 は定義し得ない。
(私の趣味はコレ。あくまで好みの問題として。)

[3] を弱めて、[3'] a^p は定義域の内点では連続
とする立場もあり、その場合には 0^0 = (0^0)^2 が成り立てば
[2] は定義域全域で成り立つ。0^0 = 1 でも 0^0 = 0 でも
どちらでも良いことになる。

べき級数を表記する場合の利便などを考えると、
0^0 = 1 を定義に加えることには、良い面があるのだが、
単にそうしたいからそうした…ではなく、何らかの必然性
があってそうしたと言いたいのなら、それを導く根拠が
[1][2][3'] の他に何か必要になる。

候補として、[3a] a^p は(定義域境界も含め) a で連続
を要請する手もあるが、[3] を [3'] に弱めた後で
[3a] を加えるのは、連続性に関する要件がいかにも恣意的
だと感じられる。

無理に必然性を挙げようとせず、[1][2][3'] に
[4] 0^0 = 1 を以って定義域を拡張する
と付け加えてしまったほうが、話は整然としている。

お礼

> 候補として、[3a] a^p は(定義域境界も含め) a で連続
> を要請する手もあるが、[3] を [3'] に弱めた後で
> [3a] を加えるのは、連続性に関する要件がいかにも恣意的
> だと感じられる。

a>0 では連続性は両方で成立している。
定義域を拡張する時に、そのいずれかが成立すると仮定してみるのは、当然の方法論です。
定義の形ばかりに囚われているのでは？

回答ありがとうございました。

回答No.15

jmh

> 自由に定義域を狭くすることが出来るなら、「指数関数」は無限に出来てしまいます。
> それを防ぐために、(3) を定義域を決めるために使っています。

定義域を狭くするなどの魔改造の自由を規制する理由が（方法も）分りません。
「関数∧が_ある条件_を満たすならば、∧（０，０）＝１」が真であれば、魔改造された指数関数▲が▲（０，０）≠１ならば▲は_ある条件_を満たすことができないハズです。
でも、そうだとしても「ある条件」は今のところ不明瞭だと思います。

お礼

> 定義域を狭くするなどの魔改造の自由を規制する理由が（方法も）分りません。

理由は、この証明がそれに基づくからです。
そもそも定義域を狭くする自由があるのなら、定義域でない所で未定義なのは明らか。
そういう方法で∧（０，０）が未定義だと主張する人は、それで自説が裏付けられたと考える？

> 「ある条件」は今のところ不明瞭だと思います。

(1),(2) を満足し、定義域に（０，０）が含まれる関数の集合Ωを考えます。
その中には、関数Xの定義域x と関数Yの定義域y が x⊂y という関係で、かつ、定義域x において X=Y となる関係が成立する場合があります。
「ある条件」とは、関数Xを除外することです。

こうして得られた関数の集合Ω'に対し、さらに∧（０，－１）≠０という条件で関数を選択すれば、∧（０，０）＝１という条件が成り立つ関数だけが残るのではないでしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.14

alice_44

また、交換不能な累次極限か…
センスというより、テイストが悪い。

お礼

また、好みの問題になりましたね。

回答ありがとうございました。

回答No.13

alice_44

(3) は、A No.2 から その「お礼」欄へのやりとりで、
修正せざるを得ないことを確認した。
さて、質問氏は、これをどのように修正するのか？
先の (3') を採用するのか、他に何かあるのか…

お礼

> さて、質問氏は、これをどのように修正するのか？
> 先の (3') を採用するのか、他に何かあるのか…

他に何か、と言われるのなら。

a^p = lim[x→a+0]lim[y→p]x^y

これによっても、有理数乗から実数乗へと指数関数を拡張できます。
極限値が存在する範囲を、定義域とします。
ただし、0^0=1 という場合です。

参考にしてください。

回答ありがとうございました。