証明

質問

何度も質問しております。すみません・・・

実数ａ、ｂ、ｋに対して、等式（ａ－ｋ)＾２＋(ｂ－ｋ)＾２＝(ａ－ｂ)＾２が成立するならば、ａ、ｂの少なくとも一方はｋに等しいことを示せ。

という問題なのですが、どのように証明したらいいのか分かりません。
「ａ－ｋ＝０またはｂ－ｋ＝０」を示せばいいという所までは分かります。が、どのような式で示せば良いのかが分からないのです。

回答、お願いします。

回答No.1

guowu-x · ベストアンサー

（ａ－ｋ)＾２＋(ｂ－ｋ)＾２＝(ａ－ｂ)^２
展開すると
ａ＾２－２ｋａ－ｋ＾２＋ｂ＾２－２ｋｂ＋ｋ＾２＝ａ＾２－２ａｂ
＋ｂ＾２
整理して
k^2-(a+b)k+ab=0
(k-a)(k-b)=0
よってｋ－a=0　または、ｋ－ｂ＝０
ゆえに、ａ、ｂの少なくとも一方はｋに等しい。

回答No.4

guowu-x

#1です。

おせっかいですが＃１さんの３行目、

ａ＾２－２ｋａ "+" ｋ＾２＋ｂ＾２－２ｋｂ＋ｋ＾２＝ａ＾２－２ａｂ
＋ｂ＾２

符号のタイプミスのようです。

その通りです。

回答No.3

komomomo

おせっかいですが＃１さんの３行目、

ａ＾２－２ｋａ "+" ｋ＾２＋ｂ＾２－２ｋｂ＋ｋ＾２＝ａ＾２－２ａｂ
＋ｂ＾２

符号のタイプミスのようです。
細かいこと言ってすみません；。

回答No.2

fushigichan

ti-zuさん、こんにちは。

a-k=0またはb-k=0を示すには、
「a≠kかつb≠kとすると、矛盾が生じる」ことを言えばいいですね。

a≠kとすると、a=k+t(t≠0;tは実数）となるtが存在する。
b≠kとすると、b=k+s(s≠0;sは実数）となるsが存在する。

さて、このとき
（ａ－ｋ)＾２＋(ｂ－ｋ)＾２＝(ａ－ｂ)＾２に代入すると
（左辺）＝(a-k)^2+(b-k)^2=t^2+s^2
（右辺）＝(a-b)^2={(k+t)-(k+s)}^2
=(t-s)^2
=t^2+s^2-2st
（左辺）＝（右辺）より、-2st=0,st=0
これは、ｓ＝０またはｔ＝０を示す。

ところが、最初の仮定より、t≠0かつs≠0であったため、矛盾。
よって、「a,bの少なくとも一方はkに等しくなければならない」