不等式の証明

質問

こんにちは。数学が得意な方に質問させていただきます。

次の不等式が成立することは証明できるのでしょうか。

(mx+na)^(1/4) - (mx+nb)^(1/4) > (x+a)^(1/4) - (x+b)^(1/4)

ただし m>1 かつ n>1 かつ a>b

自分でいろいろ式をいじってみたのですが、うまくいきません。
いくつか数値を代入してみると成立しているのですが…条件が足りないのでしょうか。
もし証明できるのであれば、教えていただければ幸いです。

ぜひ、よろしくお願いいたします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

>(mx+na)^(1/4) - (mx+nb)^(1/4) > (x+a)^(1/4) - (x+b)^(1/4)

>ただし m>1 かつ n>1 かつ a>b>0，ｘ>0

やってみたのですが、証明できませんでした。

左辺だけ右辺だけを考えれば、左辺＞０，右辺＞０は成立しているのですが、
真ん中の不等号が成り立ちません。
ｍｘ＋ｎａ＞ｘ＋ａであれば、ｍｘ＋ｎｂ＜ｘ＋ｂでなければ不等号が成り立ちません。
ｍｘ＋ｎａ＞ｍｘ＋ｎｂであれば、ｘ＋ａ＜ｘ＋ｂです。
上の条件からは、これらのことは言えません。

お礼

証明を試みていただき、ありがとうございます。

m>1 かつ n>1 なので mx+na>x+a となりますが、同時に mx+nb>x+b となってしまいます。
また a>b から mx+na>mx+nb、 x+a>x+b となります。

ですので条件が足りないのかもしれません。
もう一度条件を精査してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

ferien

ｘに何か条件はありますか？

補足

ご覧になっていただきありがとうございます。

申し訳ありません。条件が不足していました。
質問の条件に加え、以下の条件を追加させてください。

x>0 かつ a>b>0

ぜひ、よろしくお願いいたします。