不等式の証明

質問

数学の不等式の証明問題の解き方の方針などを教えてください。

⑴　a+b+c=1のとき、3(a^2 + b^2 + c^2)≧1を証明しなさい。

⑵　a>0のとき、3(a+1)≧2√(2a^2 + 5a + 2)を証明しなさい。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

（１）について
教科書にあるように（あるいは多分先生が強調してくれたように）「条件式ひとつ⇒１文字消去せよ」，「複数の文字の整式⇒特定の１文字について降べきの順に整理せよ」の鉄則に従えば一本道です。
（3(a^2 + b^2 + c^2)-1≧0を証明します）

a+b+c=1から，c=1-(a+b)　これを代入してaの降べきの順に整理するする（これで文字cが消去されます）と
3(a^2 + b^2 + c^2)-1
=6a^2+6b^2+6ab-6a-6b+2
=6a^2+6(b-1)a+(6b^2-6b+2)　（これでaの降べきの順に整理された）
=6(a^2+(b-1)a)+(6b^2-6b+2)　（ここからは平方完成の仕事）
=6((a+(b-1)/2)^2-((b-1)/2)^2)+(6b^2-6b+2)
=6(a+(b-1)/2)^2-3(b-1)^2/2+(6b^2-6b+2)
=6(a+(b-1)/2)^2-3(b^2-2b+1)/2+(6b^2-6b+2)
=6(a+(b-1)/2)^2+(9/2)b^2-3b+1/2
=6(a+(b-1)/2)^2+(9/2)(b^2-(2/3)b)+1/2
=6(a+(b-1)/2)^2+(9/2)((b-(1/3))^2-1/9)+1/2
=6(a+(b-1)/2)^2+(9/2)((b-(1/3))^2-1/2+1/2
=6(a+(b-1)/2)^2+(9/2)((b-(1/3))^2≧0
ついでに
等号が成り立つのは
a+(b-1)/2=0,b-(1/3)=0
のときだから
a=1/3,b=1/3,そしてc=1-a-b=1/3
の時です。

（２）について
a>0という条件から
3(a+1)>0,2√(2a^2 + 5a + 2)>0
ですので，
(3(a+1))^2≧(2√(2a^2+5a+2))^2
を証明して必要十分です。

(3(a+1))^2-(2√(2a^2+5a+2))^2
=9(a^2+2a+1)-(4(2a^2+5a+2)
=a^2-2a+1
=(a+1)^2≧0
∴(3(a+1))^2≧(2√(2a^2+5a+2))^2
∴3(a+1)≧2√(2a^2+5a+2)

補足

証明の最後に//や（証明終）を書いた方がいいですか？

回答No.3

f272

(1)
(解法1)
3(a^2 + b^2 + c^2)-1
=3(a^2 + b^2 + c^2)-(a+b+c)^2
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
で証明できる。
(解法2)
コーシー・シュワルツの不等式つまり
(1^2+1^2+1^2)(a^2 + b^2 + c^2)≧(1*a+1*b+1*c)^2
3(a^2 + b^2 + c^2)≧(a+b+c)^2=1
で証明できる。
(解法3)
3次元空間での平面x+y+z=1上の点(a,b,c)を考えて、原点とこの点の距離は√(a^2+b^2+c^)であり、これが最小になるのはa=b=cの時だと容易にわかる。つまりa=b=c=1/3だから3(a^2 + b^2 + c^2)=1のときが3(a^2 + b^2 + c^2)の最小値
で証明できる。

(2)
3(a+1)≧2√(2a^2 + 5a + 2)
は両辺を2乗したものを証明すればよいことを言ったうえで
9(a^2+2a+1)≧4(2a^2 + 5a + 2)
a^2-2a+1≧0
(a-1)^2≧0

回答No.2

kiha181-tubasa

№１です。
ここで証明が終わりましたよという意味なら，「//」よりも（証明了）とか（証明終わり）とか（Q.E.D.）のように具体的意味が通じる方が良いですね。