逆数の和の不等式の証明

質問

a, b, c を正数とするとき、以下の不等式を証明せよ。
(1)：(a / b) + (b / a) ≧ 2
(2)：(a / b) + (b / c) + (c / a) ≧ 3

(1)は
(a^2 + b^2) / ab ≧ 2
(a^2 + b^2) ≧ 2ab
a^2 + b^2 - 2ab ≧ 0
(a - b)^2 ≧ 0
となるので、比較的簡単に証明できました。

(2)も似たような考え方なのだろうと思ったのですがてこずってしまいました。

実はこれ、「数学記号を読む辞典」という書籍のP46の問題なのですが、「ぜひ証明に挑戦してみてください」で終わっており、答えがありませんでした。

お分かりになる方、解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.6

gamma1854 · ベストアンサー

もちろん、完全な「解答」を書いているわけではありません。私は多くの場合「ヒント」を書き、「回答」としています。
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まず、a, b, cが正数のとき、
a^3+b^3+c^3 - 3*abc≧0, であり、等号は三数が一致するときです。
(これはすでに示しました)
これを使い、A, B, Cが正数のとき、
(C*A^2)^3+(A*B^2)^3+(B*C^2)^3≧3*(A*B*C)^3. ですから、
(A/B)^3+(B/C)^3+(C/A)^3≧3.
と書き換え、A^3=a, ... とすると与式が成り立ちます。
この部分はご自身で示していただこうと考えて書きました。

お礼

ようやくわかりました。最初の式が難しかったり、変数の置き換えが2度あったりで、私にはかなり難しかったです。

実際に自分が証明するのは無理そうですが、一応何とか理解できてよかったです。ありがとうございました。

※補足を自分用のメモとして使わせていただきます

補足

x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z) * (1/2) * {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
なので、x, y, zが正数ならば、以下が成り立つ。
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz ≧ 0

ここで「x = A/B, y = B/C, z = C/A」とすると
(A/B)^3 + (B/C)^3 + (C/A)^3 ≧ 3
と書き替えられる。

さらに「A^3 = a, B^3 = b, C^3 = c」とすると与式が成り立つ

回答No.5

asuncion

＞(a^2 + b^2) / ab ≧ 2
＞(a^2 + b^2) ≧ 2ab
ここ、証明しようとしていることがらをあたかも
すでにわかっていることのようにして使うのは
まずいと思います。

お礼

左辺のみを変形させていくべきってことですね、たぶん。なるほど。

ありがとうございました

回答No.4

asuncion

おっとtypoが…。
＞((a/b) + (b/c) + (c/b))/3 ≧ ((a/b)・(b/c)・(c/b))^(1/3) = 1
((a/b) + (b/c) + (c/a))/3 ≧ ((a/b)・(b/c)・(c/a))^(1/3) = 1

お礼

ありがとうございました

回答No.3

asuncion

当然のことながら、2)における等号成立条件はa = b = cのときです。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

asuncion

どっちも相加平均・相乗平均の関係を使えば一発な気がします。
(2)
((a/b) + (b/c) + (c/b))/3 ≧ ((a/b)・(b/c)・(c/b))^(1/3) = 1

お礼

ありがとうございました

補足

すみません。
「((a/b) + (b/c) + (c/a))/3 ≧ ((a/b)・(b/c)・(c/a))^(1/3) = 1」
が、なぜ
「(a / b) + (b / c) + (c / a) ≧ 3」の証明になっているのか、どうつながっているのかわかりません。

もう少し説明いただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

gamma1854

正数a, b, c に対し、正数A, B, Cをそれぞれ、
a=A^3, b=B^3, c=C^3.,
となるように一意にきめられます。また、
x^3+y^3+z^3 - 3xyz=(x+y+z)*(1/2)*{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}...(*)
ですから、x, y, zが正数ならば (*)は非負数です。
この式で、x=A/B, y=B/C, z=C/A. とおいてください。

お礼

ありがとうございました

補足

すみません。
「x^3+y^3+z^3 - 3xyz=(x+y+z)*(1/2)*{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}」
が、なぜ
「(a / b) + (b / c) + (c / a) ≧ 3」の証明になっているのか、どうつながっているのかわかりません。

もう少し説明いただきたいです。よろしくお願いします。

あるいはこれだけで自明であり、試験などでこれだけ書けば正解になるものなのでしょうか？そしてこれ以上書くと蛇足であり、不正解にされる可能性があり、むしろこれで分からないようだとおそらく理解は無理ということなのでしょうか？