4次の項が入った不等式の証明

質問

こんにちは。不等式の証明について質問させていただきます。

a^4 - b^4 < c^4 - d^4
かつ
0 < b < d < a < c

のもとで

a - b < c - d

を証明したいと考えています。
できそうでできず、困っています。

数学的に厳密であればどんな手を使っても良いので、証明できないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.4

ferien

No.2です。

c - a < a - d
かつ
d - b < a - d
>を付け加えた場合は証明できないでしょうか。

例えば、ｂ＝１，ｄ＝２，ａ＝３，ｃ＝４とすると、
>a^4 - b^4 < c^4 - d^4
>かつ
>0 < b < d < a < c
は満たしていますが、
ｃ－ａ＝４－３＝１，ａ－ｄ＝３－２＝１で不等式を満たしません。
ｄ－ｂ＝２－１＝１なので、不等式を満たしません。
やはり証明できません。

回答No.3

noname#166245

反例をあげたら納得してもらえますか。

a=4, b=1, c=5, d=3 のとき、
4^4 - 1^4 < 5^4 - 3^4 （← a^4 - b^4 < c^4 - d^4）ですし、
0 < 1 < 3 < 4 < 5 （← 0 < b < d < a < c）ですが、
a - b < c - d　のほうは
4-1 > 5-3 となるので成り立ちません。

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
実際に判例を示していただき、納得できました。

確かにおっしゃるとおり、これでは常に成立しませんね。
失礼いたしました。

もしかするとまたバカな質問かもしれませんが、条件に
c - a < a - d
かつ
d - b < a - d
を付け加えた場合は証明できないでしょうか。
また、ほかの条件付きでこの不等式を証明することはできないでしょうか。

もしよろしければ、よろしくお願いします。

回答No.2

ferien

a^4 - b^4 < c^4 - d^4
かつ
0 < b < d < a < c

のもとで

>a - b < c - d

証明できないと思います。

>a - b < c - d
であるためには、ａ＜ｃで、ｂ＞ｄでなければならないからです。

>a^4 - b^4 < c^4 - d^4
という条件を因数分解すると、
（ａ^2＋ｂ^2）（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＜（ｃ^2＋ｄ^2）（ｃ＋ｄ）（ｃ－ｄ）
で、もう一つの条件から、
ａ^2＋ｂ^2＜ｃ^2＋ｄ^2
ａ＋ｂ＜ｃ＋ｄ　は成り立ちます。（左辺＞０右辺＞０）
逆数を考えると、
１／（ａ^2＋ｂ^2）＞１／（ｃ^2＋ｄ^2），１／（ａ＋ｂ）＞１／（ｃ＋ｄ）
のように不等号の向きが変わってしまうので、
両辺掛け合わせて、
ａ－ｂ＜ｃ－ｄを示そうとしてもできません。

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
数式によって、非常にわかりやすかったです。

確かにおっしゃるとおり、これでは常に成立しませんね。
失礼いたしました。

もしかするとまたバカな質問かもしれませんが、条件に
c - a < a - d
かつ
d - b < a - d
を付け加えた場合は証明できないでしょうか。
また、ほかの条件付きでこの不等式を証明することはできないでしょうか。

もしよろしければ、よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

ちょっと考えればわかりそうなものだが....

そもそも成り立たないものは証明できない.

お礼

ご回答ありがとうございます。

確かにおっしゃるとおり、これでは常に成立しませんね。
失礼いたしました。

もしかするとまたバカな質問かもしれませんが、条件に
c - a < a - d
かつ
d - b < a - d
を付け加えた場合は証明できないでしょうか。
また、ほかの条件付きでこの不等式を証明することはできないでしょうか。

もしよろしければ、よろしくお願いします。