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不等式の成立条件の証明
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簡単な問題なんだが、max(x、y)の意味が分らないだけなんだろう。 この記号は、x≧yの時 max(x、y)=x、y≧xの時 max(x、y)=yを表しているだけ。 それをこの問題に適用すると。 a/c≧b/dの時、c>0、d>0 からad≧bc。max{a/c、b/d}=a/cだから、(a/c)-(a+b)/(c+d)=(ad-bc)/c(c+d)。 分母>0で 分子=ad-bc≧0. a/c<b/dの時も同じようにすれば良い。
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- gohtraw
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d=αc(αは正の実数)とおいて、 (1)a/c>=b/dの場合αa>=bなので (a+b)/(c+d)=(a+b)/c(1+α)<=a(1+α)/c(1+α)=a/c (2)a/c<b/dの場合αa<b、つまりa<b/αなので (a+b)/(c+d)=(a+b)/d(1+1/α)<b(1+1/α)/d(1+1/α)=b/d
お礼
gohtrawさん,ご回答ありがとうございます。 「d=αc(αは正の実数)」と置く 解法には全く気づきませんでした。 早速活用したところ納得し, 一つ知識として得られました。 今後もご懇意に与りたいと思います。
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
(a+b)/(c+d)≦max(a/c, b/d) これを証明するには、次のことを示せばいいことになります。 (a+b)/(c+d)>a/c ⇒ (a+b)/(c+d)≦b/d (a+b)/(c+d)>a/c ⇒ ac+bc>ac+ad ⇒ bc>ad ⇒ bc+bd>ad+bd ⇒ b/d>(a+b)/(c+d)
お礼
nag0720さん,ご回答ありがとうございます。 max()の定義を再度調べた後, ご指導頂いた過程を踏まえれば 一般的な証明に落着しました。 ご教授賜り感謝いたします。
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お礼
mister_moonlightさん,ご回答ありがとうございます。 恐縮ですが仰るとおりmax()の定義を 既知としていませんでした。 しかし,今回ご教授頂き明確になりました。 これを踏まえれば一般的な証明題に 落ち着く為解答が得られました。 懇切丁寧なご指導感謝致します。