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指数関数で 0^0=1 とすることは正しい?

  • 質問No.7848712
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お礼率 96% (802/828)

指数関数とは x^1=x, x^(p+q)=x^p*x^q を定義とする関数です。
0^0 は通常定義されませんが、その値を考えてみました。

関数の定義により 0^0 は次の条件を満たす必要があります。
 0^0=0^(0+0)=0^0*0^0
 (0^0)^0=(0^0)^(-1+1)=(0^0)^(-1)*(0^0)^1
1番目の式より 0^0=1 or 0 となりますが2番目の式から 0^0=0 は否定されているように見えます。
よって結論は 0^0=1 です。

この考えは合っているのか、間違いならどこか、教えてください。
なお、底と値域は0または正の実数、指数は実数で考えます。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 46% (30/64)

正しいというのが矛盾がないということならその通りです。他にも0^0=1としないと無条件には適用できない公式は結構ありますから、0^0=1としてしまうべきだという人はそれなりに多いです。
0^0=1が証明されたわけではないという点は誤解ないようにしておきたいですが。例えばお書きになった二番目の変形が可能になる前提に0^0≠0がありますから、0^0=0が否定されて当たり前です。同じミスは0^0=0^(n-n)=0^n/0^n=0/0だから0^0は定義できないというよく見かける主張でも使われています。
お礼コメント
fusem23

お礼率 96% (802/828)

ああ、つまんないミスをしてしまいました。

回答ありがとうございました。
投稿日時:2012/12/17 14:58

その他の回答 (全5件)

  • 回答No.6
>0^(-1) は未定義です。未定義に何を掛けても未定義です。

おや?

>底と値域は0または正の実数、指数は実数で考えます。

ではないのですか?
  • 回答No.5

ベストアンサー率 43% (7609/17468)

>指数関数についての質問をべき乗と勘違いされてもね。

貴方は、文章読解力が不足しているようです。

当方が示したURLのページに

「1と定義する考え方」と言う項目があって、そこに

同様の例として、指数関数の定義式
(数式略)
が x = 0 でも妥当であるためには 0^0 = 1 である必要がある。0^0 を定義しない文脈においては
(数式略)
と定義しなければならない。

と書かれていて、指数関数と0^0の値について述べられています。

ここを「ちゃんと読み込む力」があるのであれば「指数関数と0^0の関係についての回答」だと判る筈なのですが。

文章読解力を身につけて、出直して来て下さい。
お礼コメント
fusem23

お礼率 96% (802/828)

「指数関数の定義式」とされてるのは、定義式の一例に過ぎません。
そしてその式が妥当であるためには、0^0=1 と決めておく必要があると書いてあるだけ。

指数法則はまったく出て来ませんので、私の質問とは無関係ですね。
投稿日時:2012/12/17 15:52
  • 回答No.4
0^0=0^(1+(-1))=0^1*0^(-1)=0*0^(-1)=0

とも言えますね。
お礼コメント
fusem23

お礼率 96% (802/828)

0^(-1) は未定義です。未定義に何を掛けても未定義です。

回答ありがとうございました。
投稿日時:2012/12/17 15:40
  • 回答No.3

ベストアンサー率 44% (2109/4758)

> 指数関数とは x^1=x, x^(p+q)=x^p*x^q を定義とする関数です。
このあたりに、誤解の源が潜んでいるかな?と。
その定義では、x^y の y が有理数の範囲しか定義できません。
> 底と値域は0または正の実数、指数は実数で考えます。
という範囲まで定義を広げるためには、他に何か条件が必要で、
通常は、「x^y は y について連続な関数とする」と要請するのです。
そうやると、日常よく使われている指数関数が定義されます。

連続でなくても、y が有理数のとき x^(p+q)=x^p*x^q は成り立つので、
頭記の条件だけから x^y の連続性は導けないし、
必ずしも、連続と仮定して y を無理数まで広げなければならないイワレ
もありません。ただ、そのように定義した指数関数が便利だから、
そのような定義が好まれるというだけのことです。
何が「正しい」「正しくない」の話ではなく、皆がその定義を使うかどうか
の人気投票の話なんですよ。
定義なんて、何をどう定義してもいいんですから。

数学の一般論として、連続な関数や微分可能な関数が好まれる傾向は強い。
定義域も、もとの定義は保ちつつ、なるべく広く拡張することが好まれる。
x^y の場合も、定義域全域で連続な複素二変数関数への拡張を目指すなら、
実変数のときに 0^0 をつけたしておいたのでは、後で都合が悪くなります。
だから、0^0=1 にせよ、0^0=0 にせよ、0^0=π などにせよ、
そういう定義は、(するのは勝手だけれど)あまり人から好まれない。

いや、「正しい」かどうかに絞って言えば、ローカルルールとして
明言してから使うぶんには、どう定義しようが、数学的に「正しい」
のだけれども。それ以上でもそれ以下の話でもないから、
0^0=1 が「正しく導けた」とは思わないほうがよいです。
お礼コメント
fusem23

お礼率 96% (802/828)

> その定義では、x^y の y が有理数の範囲しか定義できません。
その点は理解していますが、簡略化のために省略していました。

> 通常は、「x^y は y について連続な関数とする」と要請するのです。
0^0 では明らかに不連続ですから、0^0 を定義するならそれ以外の点で、とする必要がありますね。

> 何が「正しい」「正しくない」の話ではなく、皆がその定義を使うかどうかの人気投票の話なんですよ。
今回の話はそうではありません。指数法則から 0^0 の値が導けるかどうかの話をしてました。
結果として、#2により私の考えは否定されましたけどね。

回答ありがとうございました。
投稿日時:2012/12/17 15:37
  • 回答No.1

ベストアンサー率 43% (7609/17468)

お礼コメント
fusem23

お礼率 96% (802/828)

指数関数についての質問をべき乗と勘違いされてもね。

回答ありがとうございました。
投稿日時:2012/12/17 13:17
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