異なる座標系での微分について教えてください。

質問

添付画像をご参照願います。
(1)回転座標系での表現と慣性座標系での表現がイコールで結べるのはなぜですか？
(2)また、イコールで結んだ時の微分が、左辺が’がつくだけなのに右辺が積の微分の形になるのはなぜですか？
(3)結局このイコールで結んだ式の微分はどちらの座標系で微分しているのでしょうか？
(4)回転座標系での表現というのと慣性座標系での表現というのは一体なんでしょうか？
回転座標系と慣性座標系というのがなかなか理解できません。わかりやすく教えてくれませんか。

質問が多くなりましたが、答えられるところだけでも結構ですので、教えてくだされば幸いです。

↓拡大画像になります(外部アップローダー)
http://kie.nu/wDT

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

記述を楽にするために次のように定義しておきます。
慣性座標系の座標(x,y)　慣性座標系の単位ベクトルi,j 慣性座標系で表した位置ベクトルr
回転座標系の座標(X,Y)　回転座標系の単位ベクトルI,J　回転座標系で表した位置ベクトルR

(1)
これは表現が異なるだけの同じベクトルですのでイコールで結べます。

(2)(3)
まず、写真に書いてある式の中で"回転座標系での表現"の下に書いてある微分した式が間違っています。
R'=(XI)'+(YJ)'
です。

まず、何の変数で微分するのか理解していないような気がします。
ここでの微分は時間微分です。対象としている系では光速に比べて相対速度は十分に小さく重力もさほど大きくない系だろうと思われるので時間に関しては二つの座標系で同じように流れるとみなしてよいでしょう。(もしこの前提が違っているのならかなり面倒なことになります)

慣性系の単位ベクトルi,jは時間に対して不変ですので時間微分するとゼロベクトルになりますが、回転系の単位ベクトルI,Jは常に回転しているため時間微分してもゼロベクトルになりません。
rを時間微分すると i'=j'=ゼロベクトル　ですので
r'=(xi)'+(yj)'=x'i+xi'+y'j+yj'=x'i+y'j
となりますが、Rの時間微分ではI',J'が残ってしまうのです。

(4)
地球の上に立っている人を考えましょう。
その人は常に"東"を向いているものとします。

地球の上に立っている人からみると、その人は常に同じ方向を向いています。
しかしそれを太陽からみるとどうでしょうか。ある時刻には人は太陽の方を向いていますが、別の時間には全く逆方向を向いています。

このように、向きとは観測している系で異なりますし、時間の変化とともに変わることもあります。
慣性座標系と回転座標系はこの方向の違いを取り扱うものです。

補足

回答ありがとうございます。補足が遅くなりましてすみません。
なんとなくは理解できました。

添付画像の中に、回転系で表現したベクトルと慣性系で表現したベクトルをイコールで結んだ式があります。
それをそれぞれ時間微分して
回転系で表現したベクトルを時間微分したものと慣性系で表現したベクトルを時間微分したものをイコールで結んだ式があります。
ここで疑問なのですが、
慣性座標系で表した位置ベクトルr’
＝回転座標系で表した位置ベクトルR’＋Ω×回転座標系で表した位置ベクトルR
と表せるのでしょうか？
この変形で回転座標系で表した位置ベクトルR’はどこから来ているのかわかりません。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

#1の(4)の説明について訂正をしておきます。
太陽と地球、としましたが、地球と月、に置き換えてください。

これは、自転と公転が同期していない太陽と地球の系では不適切なため、同期している地球と月の関係の方が今回の問題には適しているからです。
月は地球に対して常に同じ面を向いています。そのような回り方をしている天体における話だと考えてください。

補足

月は地球に対して常に同じ面を向いています。そのような回り方をしている天体における話というのは定義でしょうか？