u(x1,x2)、uのxiでの偏微分をu[i]、

質問

uiをさらにxjで偏微分したものをu[ij]、
s=u[1]/u[2]としたとき、ds/dx1を求めよという問題が分かりません。ただしu(x1,x2)は十分な回数微分できます。

自分でやると、2変数関数の合成関数の偏微分の公式、つまり
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henbibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/henbibun/henbibun-kosiki.html
の下から２番目の公式を使って

∂s/ ∂x1=(1/u[2])u[12]-{u[1]/u[2]^2}u[21]となりました。（問題文のdは ラウンドdの書き間違いと
解釈しました ）

ですがある教科書には添付しました画像にあるように
dsを求めてからdx1で両辺割って求めてます。しかも右辺が私のやったものと違います。

一体全体なにが間違いなのか分かりません。また、なぜ教科書でははじめに全微分っぽいことをしているんでしょうか？そもそもuは２変数関数なのになぜラウンドdではなくただのdで書いているんでしょうか？？

数学はこのとおり苦手なので教えていただけたらうれしいです。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

問題。
>s=u[1]/u[2]としたとき、ds/dx1を求めよ…
付加条件。
>u1dx1 + u2dx2 = 0

勘定の例を参考まで。
以下、ui をさらに xj で偏微分したものを uij と略記。

まず、偏微分
　s1 = u11(1/u2) - u1u21/(u2)^2
　s2 = u12(1/u2) - u1u22/(u2)^2
から全微分を勘定すると、
　ds = s1*dx1 + s2*dx2
　　 = {(u11/u2) - u1u21/(u2)^2}*dx1 + {(u12/u2) - u1u22/(u2)^2}*dx2

ここで dx2 = -u1dx1/u2 の条件を使う。
　ds = [{u11(u2^2) - u1u2u21}/(u2)^3}]*dx1 - [{u1u2u12 - (u1^2)u22}/(u2^3)]*dx1
　　 = [{u11(u2^2) - u1u2u21 - u1u2u12 + (u1^2)u22}/(u2^3)]*dx1
　　 = [u11(u2^2) - 2*(u1u2u12) + (u1^2)u22}/u2^3]*dx1

お礼

ありがとうございます。
ようやく意味がわかりました
ラウンドディーとは意味が違うのですね

回答No.2

178-tall

>仮定で、u(x1,x2)を最大化するというのがありましてそこから u1dx1 + u2dx2 = 0です。

なるほど。
ならば、u[1]/u[2] = U に対し dU = U1dx1 + U2dx2 をそのまま勘定していき、u1dx1 + u2dx2 = 0 を代入すれば、
　　dU = Vdx1
の形の全微分がえられるのでは？

図示の筋書き通りになるのでしょうけど。

回答No.1

178-tall

添付図の記述はそれなりに追えます。
けど、途中の dx2 = -(u1/u2)dx1 は出所不明。
du = u1dx1 + u2dx2 = 0 らしいのですが、何か問題にて前提しているのでしょうか？

当方が、題意を消化しかねているだけかも --- 。

補足

失礼しました
仮定で、u(x1,x2)を最大化するというのがありましてそこから
u1dx1 + u2dx2 = 0です。
引き続き回答をお待ちしてます