アンペールの法則の電流密度の意味

質問

お世話になります。

アンペールの法則を微分形で書くと、
rotH = j ---(1)
と書けると思います。

この右辺の電流密度の考え方がよくわからないので教えてください。

図のように1本の直線の導線に電流が流れていて、
その周りに磁界が発生している場面を考えます。
このとき、任意の微小領域について(1)が成り立つと
理解しているのですが、合っていますでしょうか。

そうだとすると、図に示した導線上以外の微小領域Aについて、
(1)の右辺はどういう計算で出る量なのでしょうか。
(1)の左辺は磁界の回転ということで意味がわかるのですが、
右辺は、微小領域内に電流は流れていないので、
「電流密度」はゼロになるのでは？と思ってしまいます。

ご回答いただけると助かります。

回答No.3

heboiboro · ベストアンサー

> そうだとすると、図に示した導線上以外の微小領域Aについて、
> (1)の右辺はどういう計算で出る量なのでしょうか。
> (1)の左辺は磁界の回転ということで意味がわかるのですが、
> 右辺は、微小領域内に電流は流れていないので、
> 「電流密度」はゼロになるのでは？と思ってしまいます。
それで正しいです。導線上以外の部分では電流密度はゼロです。
rotHも、導線上以外の場所ではゼロです。これは計算してみたらすぐ分かります。

rotHは原点でのみゼロでない値を持ちますが、これは特異性を持つので普通に微分しては計算できません。
このように特異性が現れる理由は、太さ0の導線を電流が流れているという極限的な状況を考えているからです。
特異性が現れるときには微分形の法則は（慣れていないと）使いづらいです。

お礼

> それで正しいです。導線上以外の部分では電流密度はゼロです。
> rotHも、導線上以外の場所ではゼロです。これは計算してみたらすぐ分かります。

(x,y) = (r cosθ, r sinθ, 0)の点における磁界を
H = I/2π(-sinθ/r, cosθ/r, 0)として
rotHを計算してみると、たしかにゼロになりました。
ゼロではないはずだと思い込んでしまっていました。

> 特異性が現れるときには微分形の法則は（慣れていないと）使いづらいです。

そうなんですね。勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

foobar

>微小領域内に電流は流れていないので、「電流密度」はゼロになるのでは？
電流密度は、「電流/流れている面積」です。
考えている面積を極限まで小さくしてゆくと、電流は0に近づきますが、同時に面積も0に近づいて、電流密度はある一定値に収束します。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

>(1)の右辺はどういう計算で出る量なのでしょうか。

座標を(x,y,z),z軸正の方向の単位ベクトルをZとし、電流はx=y=0(z軸)をz軸正の方向に流れるとすると

j=|j|δ(x)δ(y)Z

となります。δ(x)はディラックのδ関数で
δ(x)=0 (x≠0)
∫[-∞,∞]δ(x)dx=1
を満たすものとなります。
(x,y)≠(0,0)なる点では　j=0ベクトル　となります。

もちろん、(x,y)≠(0,0)の点では　rotH=0ベクトル となります。
(実際に計算すれば確認できます)

回転を理解するのは難しいのですが、簡単に言えばrotHはその場でHがどれだけ強さで渦を巻いているか、ということを意味します。
Hが作る渦はあくまで中心の電流の周りを回るように作られ、電流が流れていない部分では渦を作っていないのです。

お礼

> もちろん、(x,y)≠(0,0)の点では　rotH=0ベクトル となります。

(x,y)≠(0,0)の点でもrotH≠0と思い込んでいました。
理解できました。ありがとうございます。