アンペールとビオサバールの法則

質問

磁場をＨ，磁束密度をＢ，Ｂ＝μＨの透磁率μが定数の場合で考えます。

　アンペールの法則は、

　　∫(rotＨ)・ds＝Ｉ　　　　(1)

になると思います。ここで∫は、閉じてない曲面Ｓでの面積分で、dsは面素ベクトル，・は内積，ＩはＳを切る電流値です。

　一方、ビオサバールの法則は、

　　Ｈ(r)＝JdL×(r－r')／|r－r'|^3　　　　(2)

だと思います。ＪdLは電流素のベクトル，×は外積，rはＨの観測点の位置ベクトル，r'は電流素の位置です。

　曲面Ｓを電流素が切らないような場合、(1)より、

　　∫(rotＨ)・ds＝0　　　　(3)

になるだろうと予想しました。そこで単純に(2)を(3)に代入すれば、0になると思ったのですが、計算違いでなければ、

　　∫(rotＨ)・ds＝∫(rot(JdL×(r－r')／|r－r'|^3)・ds＝－∫((JdL・∇)((r－r')／|r－r'|^3)・ds　　　(4)

になりました。(4)の最右辺が0になるとは思えません。また、直接ストークスを使い、

　　∫(rotＨ)・ds＝∫(JdL×(r－r')／|r－r'|^3)・dc　　　（←線積分）

だったとしても、0になるケースのあるのはわかるのですが、Ｓの境界が任意の場合は、どうやったら良いかわかりません。

　で、もし最後の線積分が、電流素がＳを切らない場合に必ず0になるなら、(4)の被積分項は直接0になる気がするのですが、どこが違うのでしょうか？。あるいは、条件が足りないのでしょうか？。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>　　Ｈ(r)＝JdL×(r－r')／|r－r'|^3　　　　(2)
ここで考えている磁場は、
ある地点PからdLだけ離れた地点P'の間にだけ流れる電流しか考慮されていません。
この場合、点Pと点P'では電荷の保存則が成り立っていないので、何かおかしい事がおこってもおかしくはないはずです。(マクスウェル方程式は電荷の保存則を含んでいますので)

(2)の磁場を電流が流れている領域V上で積分した、
H(r)= ∫dV j×(r－r')／|r－r'|^3　　
という磁場で考えるというようなことをやれば問題はおこらないはずです。(jは電流密度)

どうしても電流素で考えたいという事であれば、
点Pから流出する電流によって点Pの電荷が変化する(点P’も同様)事を考慮する流れでよいはずです。この場合点P,P'に蓄積した電荷の作る電場を考える事になります。

お礼

基本点を指摘していただき、ありがとうございます。

　遅くなりましたが、お礼申し上げます。

補足

面倒なので、

　　(JdL・∇)((r－r')／|r－r'|^3)＝∇((r－r')／|r－r'|^3)ＪdL＝(∇Ｆ(r，r'))ＪdL

と書きます。中辺以降の∇は、ベクトルにスカラー的に作用する全微分演算子とします。

　やっぱり、そういう事ですか。

　裸の電流素などあり得ないと考えれば、Ｆ(r，r')は、電流密度ρを導入して、

　　Ｇ(r)＝∫(∇Ｆ(r，r'))ρ(r')dv'　　(a)

に置き換えるべきだ、となると思いました。上記は電流素を含むような任意の体積Ｖでの体積積分，dv'はr'に関するものです。

　　(a)＝∫Ｆ(ρ・ds')－∫Ｆ(divρ)dv'

になりますが、定常電流なのでdivρ＝0。・ds'は、Ｖの表面Ｓでのr'に関する積分ですが、Ｓを切る電流はないと仮定しているので、Ｓではρ＝0。よって(a)とＧ(r)は0になり、これは電荷保存則と同じだと思います。

　要するにＧが0になるのは、数学でなく物理が決めた事なのだ、と。

　ちなみに電流素ですが、静電遮蔽された箱から、導線をちょろっと出しとけば近似的には、実現できると思っています。(a)の積分は、そんなイメージです。

　もう一つは、標準的なテキストでアンペールの法則を導く時に、観測点もソース点も両方動かすという、二度手間をやるのは何故だろう？と、前から思っていたのですが、今回その理由がわかった気がします。

　ありがとうございます。