力学 円運動と単振動
下図のように鉛直部分AB, 水平部分BC, および点Aを中心とする半径Rの円弧部分CDからなる、滑らかで細い針金がある。点A,B,C,Dは同一円直面内にあるものとし、AC=AD=R, ∠BAC=αとする。また、点A,Dの高さは同じであるとし、点Cで水平部分と円弧部分は滑らかにつながれているとする。さらに、重力加速度の大きさをgとする。
(1)
この針金の円弧部分CDに、穴の開いた質量mの小球を通し、ABを回転軸として一定の加速度ωで針金を回転させたところ、小球は、CD間のある点Pに位置させたときに、針金に対して静止(針金とともに回転)した。このとき、点Pで小球が針金から受ける垂直抗力の大きさは、m, R, ωを用いて(ア)と表される。また、線分ABとAPのなす角度をθ(α<θ<π/2)とすると、R, g, ωを用いて、cosθ=(イ)と表される。
(２)
次に、(1)と同様に、ABを回転軸として一定の角速度ωで針金を回転させ、針金とともに回転する観測者からみて、小球を点Pに静止させておく。この状態から、小球に円弧CDにそって微小な変位を与えたところ、小球は点Pを中心に(円弧CDに沿って)振動し始めた。以下では、円弧CDにそって点Pを原点とする上向き(C→D向き)正のx軸をとる。また、力、変位、加速度の円弧CDに沿った方向成分(円弧CDの接線方向成分)は+x向きを正とし、以下で用いるΔθは、その符号が小球の位置のx座標の符号と一致するようにとるものとする。
小球が点Pから微小変位した瞬間の、小球と点Aを結ぶ線分とABとのなす角をθ+Δθとし、この瞬間の小球の加速度のx成分をa(+x向き正)とする。この瞬間における小球のx方向の運動方程式は、m, a, g, R, ω, θ, Δθを用いて、ma=(ウ)と表される。さらにこのとき、|Δθ|≪1であることより、小球の加速度aは、R, ω, g, Δθ,を用い、２次以上の微少量は無視して、a=(エ)と表される。ただし、必要であれば、|Δθ|≪1のときに成り立つ近似式
sin(θ+Δθ)≒sinθ+Δθcosθ, cos(θ+Δθ)≒cosθ-Δθsinθ
を用いてよい。
問
このときの小球の運動は、点Pを中心とする単振動とみなせる。その周期を求めよ。
自分の解答↓
(1)
力のつり合いより、
mg=Ncosθ, mRω^2sinθ=Nsinθ
これを解いて、N=mRω^2, cosθ=g/Rω^2
(2)
小球と点Aを結ぶ線分とABとのなす角がθ+Δθとなったとき、小球に働く遠心力はmRω^2sin(θ+Δθ)であるから、この点における円弧CDの接線方向の運動方程式はma=mRω^2sin(θ+Δθ)cos(θ+Δθ)-mgsin(θ+Δθ)
よって、a=Rω^2sin(θ+Δθ)cos(θ+Δθ)-gsin(θ+Δθ)
与えられた近似式を用いて
a=Rω^2(sinθ+Δθcosθ)(cosθ-Δθsinθ)-g(sinθ+Δθcosθ)
=Δθ(g^2/Rω^2-Rω^2)-(Δθ)^2gsinθ
(Δθ)^2は無視できるので、
a=Δθ(g^2/Rω^2-Rω^2)
ここまでは一応自力でできたのですが、この単振動の周期の求め方がわかりません。単振動の周期というと、単振動の角振動数をbとでもおき、ma=-b^2xからbをもとめて、周期T=2π/bというように求めるのが普通だと思うのですが、振動中心からの距離xが角度θである場合も同様に周期を求められるのでしょうか？
お礼
こんにちは。 回答ありがとうございました! 自然長を原点として運動方程式をたてていて、原点が台の移動により動くことを考慮に入れず式を立てたため間違っていたようです。 また機会があればよろしくお願いします