解決済み

単振動

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お礼率 92% (997/1077)

線密度σが一様な長さLの弦を張力Tで直線状に張り、その直線に一致させてx軸をとる。
弦の固定位置をx=0 x=Lとし、これに横振動を与えたところ基準振動が生じた。

弦の変異をu(x,t) とするとuは a^2u/at^2 = T/σ・ a^2u/a^2x
方程式を満足とする。


1.この法手式の一般的な名称を記せ

2.基準振動を得るためには
u(x,t) = f(x)cos(wt+φ)とおくとよい。このu(x)について
a^2u/at^2


a^2u/a^2x
をそれぞれ計算せよ。

3.問2のf(x)が満足しなければならない境界条件を2つ記せ

4.u(x,t)は上記の方程式を、満足しなければならない。問2の結果からf(x)が満足する微分方程式を求めよ。この時、波数kをもちいよ。なお端数kと角振動数ωにはk = √σ/t ・ωという関係がある

5.問4のf(x)に関する微分方程式を解き、境界条件を満足するf(x)および角振動数をもとめよ。必要な物理量があれば定義して用いること。

という難しい問題に挑戦して挫折しました。

とりあえず自分で考えてみたのですが
問1の答えは単振動
問2の答えはAsinω を微分して
Aωcosωt [m/s] これを微分して
a(t) =-Aω^2sinωt [m/s2] となるのではないかと思ったところでギブアップでした。

私は高校で物理を取っていませんでした。
恥ずかしいことに
a^2u/a^2x
とかの意味も「微分すればいい記号?」と解釈してやってみました。

親切にそういったディテールまで解説して下さるかた。御教授ください。
また、どのような本を読めばこのような学問の習得が出来ますか。アドバイスもお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2

ベストアンサー率 61% (411/663)

そもそも∂をaとかいたら主旨不明の質問になります。
∂^2u/∂t^2 = (T/σ)(∂^2u/∂x^2)...(1)
ならこれは波動方程式です。質問者さんは式の最後の部分をa^2xと書いておられますが、これは∂x^2であろうと思います。
u=fcos(ωt+φ)...(2)
としたのですから
∂u/∂t=-(fω)sin(ωt+φ)
∂^2u/∂t^2=-(fω^2)cos(ωt+φ)...(3)
∂u/∂x=f'cos(ωt+φ)
∂^2u/∂x^2=f"cos(ωt+φ)...(4)
です。
境界条件はx=0, x=Lで固定ですから
f(0)=0, f(L)=0...(5)
です。
(3)と(4)を(1)に代入すると
-(fω^2)cos(ωt+φ)=(T/σ)f"cos(ωt+φ)
すなわち
f"=-(w^2σ/T)f...(6)
となります。
ω√(σ/T)=k...(7)
と書くと(6)は
f"=-k^2f...(8)
となります。これがf(x)が満足すべき微分方程式です。(8)を解けば一般解は
f=Asinkx+Bcoskx...(9)
となります。f(0)=0よりB=0となり、f(L)=0よりAsinkL=0ですから
kL=nπ
即ち
k=nπ/L...(10)
となります。結局
f(x)=Asin(nπx/L)...(11)
です。それでu=fcos(ωt+φ)ですから
u=A(sin(nπx/L))(cos(ωt+φ))...(11)
となります。ここでωは(7)より
ω=k√(T/σ)=(nπ/L)√(T/σ)...(12)
です。(12)からωはnにより無数にあることになります。線型微分方程式は異なるnに対する全ての解を重ね合わせることが出来ますから解としては
u=ΣA_n(sin(nπx/L)(cosω_n+φ)
ということになります。

この内容なら勉強には古典ですが、スレーターとフランクの本「理論物理学入門」(井上健 訳)がぴったりです。
お礼コメント
ligase

お礼率 92% (997/1077)

ご親切に詳細にわたる解説ありがとうございます。

まずは微積とと教えていただいた本を借りて勉強しようと思います。

本当にありがとうございました。
投稿日時 - 2011-05-24 10:36:43

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 25% (385/1500)

質問者が「高校生」なのか「それより上の学生」なのかは分からないが・・・、
思うに、質問者が先ず学習すべきは「国語」(正しい入力の仕方)であるように思う・・!

弦の「変異」ではなくて「変位」・・・!
法手式・・???
a^2/at^2・・・一瞬笑うしかない!・・と思ったが、これは冷静に考えると記号(∂)が無かったための代用であろうと推測出来たので、まあこれは「良し」としよう。
・・・言いたい事は、自分で入力した内容を今一度読み返して確認してみるという事である!!

質問者が高校生(・・・を続けているの)ならば、まだ此の手の方程式の名前はまだ習わないかも知れない。
1.「波動方程式」・・・という名前で知られている。
2.「A」って何だ・・・??
高校では(∂/∂t),(∂/∂x)・・・は、まだ習わないと思う。
質問者が「数学」を履修していて「微分」という言葉を知っているのなら(d/dt),(d/dx)という記号は見た事があると思う。

別にどうでも良い事だが・・・、
高校で「物理」(・・・や「数学III」を取っていなかった?)者が何でこの様な問題にチャレンジしようと思ったのか・・・?
チャレンジするからには、前提となるべき基礎事項がベースにないと、問題(ここでは与えられた微分方程式)の意味すら理解できないことになってしまう。

此の手の微分方程式の意味を学びたいのならば、「物理学」(・・・の中の「波動」)を学習する必要があるし、微分方程式の解法を学びたいのならば「微分積分」を学習する必要がある。

質問者のバックグラウンドが全然分からないのと質問文との内容から、当方が感じた事を書かせて頂いた・・!
何のバックグラウンドも持ち合わせていなくて、いきなりこんな問題を解こうとしても挫折するだけだと思う・・!

問題の双曲型(偏)微分方程式自体は親切に誘導までしてあるので、それに従っていけばよいから回答すること自体は難しくはない。
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