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証明の問題です。
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#2です。 そろそろできたでしょうか。 前半の問題 四角形をABCDとし、対角線AC=a,BD=b,∠AOB=θ、ACとBDの交点をOとし、BO=t とおく。 △ABCにおいてACを底辺としたとき、高さは BO×sin∠AOB = t・sinθ △ADCにおいてACを底辺としたとき、高さは同様に (b-t)・sinθ よって、 四角形ABCD = △ABC＋△ADC =(1/2)・a・t・sinθ ＋(1/2)・a・（b-t)・sinθ =(1/2)・a・sinθ・(t+b-t) =(1/2)absinθ [終] 後半の問題 ※普通は#4さんの逆方向でやります。というか、その方が簡単です。 (1) S=(1/2)absinC ---(*) 正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R より、 a=2R・sinA, b=2R・sinB なので、(*)に代入すると S=(1/2)absinC = (1/2)(2R・sinA)(2R・sinB)sinC =2R^2sinAsinBsinC [終] (2) 正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R より、 sinC = c/2R (もちろんR≠0） これを(*)に代入すると S=(1/2)absinC = (1/2)ab(c/2R) =abc/4R [終]
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- shinchan_k
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>2R=a/sinA より、 4R=2*(a/sinA) なので >右辺=abc/(2*a/sinA)=bcsinA/2=Ｓ の(2*a/sinA)の部分が4Rです。 補足が遅くなってすみません。
お礼
詳しく説明していただいてありがとうございます。 4Rは、2Rを二倍するので、2*(a/sinA) となるのですね。
- shinchan_k
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まず最初のやつ。 四角形ABCDの対角線ACとBDの交点をPとする。 AP=x,BP=y,∠APB=θとおくと、 △ABP=xysinθ/2 △BCP=(AC-x)ysin(180-θ)/2=(AC-x)ysinθ/2 △CDP=(AC-x)(BD-y)sinθ/2 △ADP=x(BD-y)sin(180-θ)/2=x(BD-y)sinθ/2 この４つの三角形の面積の和が四角形ABCDの面積なので ４つとも足すと、 absinθ/2 となります。 次のやつ。 (1) 正弦定理より sinA=a/2R sinB=b/2R 右辺=2r^2(a/2R)(b/2R)sinC=absinC/2=Ｓ (2) 同じく正弦定理より 2R=a/sinA 右辺=abc/(2*a/sinA)=bcsinA/2=Ｓ
お礼
模範解答ありがとうございます。 参考にさせていただきます。
補足
(2) 同じく正弦定理より 2R=a/sinA 右辺=abc/(2*a/sinA)=bcsinA/2=Ｓ の部分で、4Rは何処ででてきているのかよくわかりませんでした。すみません。もう少し詳しく説明していただければ助かります。
- hinebot
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#2です。 前半の考え方は、#1の方のアドバイス通りです。 仮にaの方の対角線を底辺にする三角形で、四角形を２つに分けた場合、 それぞれの三角形の高さをなす角θでどう表せるでしょう？ 高さが出たら面積は２つの三角形の和ですね。 これを眺めれば…もう一つの対角線b が浮かんでくるはずです。
お礼
アドバイスありがとうございます。
- hinebot
- ベストアンサー率37% (1123/2963)
後半 正弦定理は a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R で、△ABCの面積は、(1/2)absinC 等です。 (1)は、正弦定理から、a,b を消しましょう。 (2)は逆に sinC を消しましょう。
お礼
アドバイスありがとうございます。
- wolv
- ベストアンサー率37% (376/1001)
前半： ・片方の対角線が水平になるようにして図を書いてみましょう。 ・四角形は、その対角線で上下二つの３角形にわけて考えられます。 ・三角形の面積は、底辺×高さ／２です。
お礼
アドバイスありがとうございます。
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