証明の問題です。

質問

本日二回目です。すみません。
四角形の二つの対角線の長さがa、bで、そのなす角がθであるとき、この四角形の面積は、1/2absinθであることを示せ。
という問題です。あと、等式の証明で、
△ABCの面積をＳ、外接円の半径をＲとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1)Ｓ＝2R＾2sinAsinBsinC
(2)Ｓ＝abc/4R
という問題です。等式の証明で、正弦定理がつかえそうなのですが、どのようにあてはめればよいのかがわかりません。
お願いします。

回答No.6

hinebot · ベストアンサー

#2です。
そろそろできたでしょうか。

前半の問題
四角形をABCDとし、対角線AC=a,BD=b,∠AOB=θ、ACとBDの交点をOとし、BO=t とおく。
△ABCにおいてACを底辺としたとき、高さは
BO×sin∠AOB　= t・sinθ
△ADCにおいてACを底辺としたとき、高さは同様に
(b-t)・sinθ
よって、
四角形ABCD = △ABC＋△ADC
=(1/2)・a・t・sinθ　＋(1/2)・a・（b-t)・sinθ
=(1/2)・a・sinθ・(t+b-t)　=(1/2)absinθ
[終]

後半の問題
※普通は#4さんの逆方向でやります。というか、その方が簡単です。
(1)
S=(1/2)absinC　---(*)
正弦定理
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
より、 a=2R・sinA, b=2R・sinB なので、(*)に代入すると
S=(1/2)absinC = (1/2)(2R・sinA)(2R・sinB)sinC
　=2R^2sinAsinBsinC [終]

(2)
正弦定理
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
より、 sinC = c/2R (もちろんR≠0）
これを(*)に代入すると
S=(1/2)absinC = (1/2)ab(c/2R) =abc/4R [終]

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
わかりやすかったので、すぐ理解することができました。

回答No.5

shinchan_k

>2R=a/sinA
より、
4R=2*(a/sinA)
なので
>右辺=abc/(2*a/sinA)=bcsinA/2=Ｓ
の(2*a/sinA)の部分が4Rです。
補足が遅くなってすみません。

お礼

詳しく説明していただいてありがとうございます。
4Rは、2Rを二倍するので、2*(a/sinA)
となるのですね。

回答No.4

shinchan_k

まず最初のやつ。
四角形ABCDの対角線ACとBDの交点をPとする。
AP=x,BP=y,∠APB=θとおくと、
△ABP=xysinθ/2
△BCP=(AC-x)ysin(180-θ)/2=(AC-x)ysinθ/2
△CDP=(AC-x)(BD-y)sinθ/2
△ADP=x(BD-y)sin(180-θ)/2=x(BD-y)sinθ/2
この４つの三角形の面積の和が四角形ABCDの面積なので
４つとも足すと、
absinθ/2
となります。

次のやつ。
(1)
正弦定理より
sinA=a/2R
sinB=b/2R
右辺=2r^2(a/2R)(b/2R)sinC=absinC/2=Ｓ
(2)
同じく正弦定理より
2R=a/sinA
右辺=abc/(2*a/sinA)=bcsinA/2=Ｓ

お礼

模範解答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

補足

(2)
同じく正弦定理より
2R=a/sinA
右辺=abc/(2*a/sinA)=bcsinA/2=Ｓ
の部分で、4Rは何処ででてきているのかよくわかりませんでした。すみません。もう少し詳しく説明していただければ助かります。

回答No.3

hinebot

#2です。

前半の考え方は、#1の方のアドバイス通りです。
仮にaの方の対角線を底辺にする三角形で、四角形を２つに分けた場合、
それぞれの三角形の高さをなす角θでどう表せるでしょう？
高さが出たら面積は２つの三角形の和ですね。
これを眺めれば…もう一つの対角線b が浮かんでくるはずです。

お礼

アドバイスありがとうございます。

回答No.2

hinebot

後半

正弦定理は
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
で、△ABCの面積は、(1/2)absinC 等です。

(1)は、正弦定理から、a,b を消しましょう。
(2)は逆に sinC を消しましょう。

お礼

アドバイスありがとうございます。

回答No.1

wolv

前半：
・片方の対角線が水平になるようにして図を書いてみましょう。
・四角形は、その対角線で上下二つの３角形にわけて考えられます。
・三角形の面積は、底辺×高さ／２です。

お礼

アドバイスありがとうございます。