正弦定理の証明

質問

正弦定理の証明について質問します。
三角形ABCの外接円の中心をO、半径をRとする
0度＜A＜90度の時、円周角の定理により角BCD=90度、角A=角D
BD=2RであるからsinD=a/2RまたsinA=sinD(※)
したがってsinA=a/2Rすなわちa/sinA=2R
とあるのですが、※の部分についてsinDについては三角形BCDに直角があり
sinD=a/2Rとなる事は理解出来ますが、三角形ABCは直角を持たないのに
sinAが出来るのが分かりません。
なぜ三角形ABCは直角を持たないのにsinAと出来るのか教えてください。

回答No.4

178-tall

< ANo.3
錯誤訂正。

　三角形 ABC と底辺 BC を共有し、円中心を通る辺 BD をもつ三角形 DBC を想定する。
　このとき、角 C が直角になる。
　角 D は角 A に等しい。
　(論拠は「円周角の定理」)
というハナシの進めかたをしてます。

回答No.3

178-tall

>なぜ三角形ABCは直角を持たないのにsinAと出来るのか教えてください。
　　　↑
この疑問の思考は、向きが逆みたいな気配です。

証明の道筋を追ってみると？

三角形 ABC のままでは sinA の「辺比」表示が複雑化するので (不可能じゃなさそう) 、
　三角形 ABC と辺 BD 底辺 BC を共有し、円中心を通る辺 BD をもつ三角形 DBC を想定する。
　このとき、角 C が直角になる。
　角 D は角 A に等しい。
　(論拠は「円周角の定理」)
というハナシの進めかたをしてます。

これが「三角形ABCは直角を持たないのに sinA と出来る」というシナリオでした。

回答No.2

mnakauye

こんにちは。
　sinA　と言うのは、角Aの比の値で、例えば与えられた図で
頂点Bから辺ACに垂線をひけば、その足（ACとの交点）をEとして
（添付図をご覧ください。）
　　sinA＝BE/ABですね。これがSINの定義です。
もちろん、頂点Cから、辺ABに垂線を引いてその足をFとして
　　sinA＝CF/AC
でもあります。

　だから三角形があれば（角があれば）sinの値と言うのは考えられる。
これが基本です。
しっかり理解しましょう。

　　そして、角Aの大きさは角Dと同じですから、
　　（理由：同じ円の同じ長さの弧の上に立つ角だから）
　　sinA=sinD
なのです。

回答No.1

f272

角A=角DだからsinA=sinDと言ってるだけだよ。

> 三角形ABCは直角を持たないのにsinAが出来るのが分かりません。

sinAを考えるのにどうして三角形ABCに限定しているの？点Aが頂点となっている直角三角形などいくらでも考えることが出来るだろう。