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ベクトル

(1)二つのベクトルa→=(3、t)、 b→=(-1、2) に対して、a→+2b→と2a→-b→ が直交するときtの値を求めよ。 (2)二つのベクトルをa→=(2、1)、 b→=(3、4)とする。tがすべての実数を動くとき、  la→+t(b→)l の最小値を求めよ  この2題の解法を教えてください。

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  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

(1)二つのベクトルa→=(3、t)、 b→=(-1、2) に対して、a→+2b→と2a→-b→ が直交するときtの値を求めよ。 >二つのベクトルが直交するときは二つのベクトルの 内積=0。 a→+2b→=(3、t)+2*(-1、2)=(3-2,t+4)=(1,t+4) 2a→-b→=2*(3、t)-(-1、2)=(6+1,2t-2)=(7,2t-2) (a→+2b→)・(2a→-b→)=(1,t+4)・(7,2t-2) =1*7+(t+4)*(2t-2)=7+2t^2-2t+8t-8=2t^2+6t-1=0 これを解いてt={-6±√(36+8)}/4=(-6±√44)/4 =(-3±√11)/2・・・答え (2)二つのベクトルをa→=(2、1)、 b→=(3、4)とする。tがすべての実数を動くとき、  la→+t(b→)l の最小値を求めよ  >a→+t(b→)=(2,1)+t(3,4)=(2+3t,1+4t) la→+t(b→)l^2=(2+3t)^2+(1+4t)^2=5(5t^2+4t+1) f(t)=5t^2+4t+1=5{t^2+(4/5)t}+1=5{t+(2/5)}^2+1-4/5 =5{t+(2/5)}^2+1/5からf(t)はt=-2/5の時に最小値1/5 となるので、la→+t(b→)l^2の最小値は1。 よって、la→+t(b→)l の最小値は1。・・・答え

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 よくわかりました。

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  • 回答No.1
  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)

以下、ベクトル記号省略します。 (1)a+2b=(3,t)+2(-1,2)=(1,t+4)  2a-b=2(3,t)-(-1,2)=(7,2t-2)  この2つベクトルが直交するから、  (a+2b)・(2a-b)=0  7+(t+4)(2t-2)=0  2t^2+6t-1=0  t=-3±√11 (2)|a+tb|=|(2,1)+t(3,4)|=|(2+3t,1+4t)| |a+tb|^2=(2+3t)^2+(1+4t)^2 =4+12t+9t^2+1+8t+16t^2 =25t^2+20t+5 =5(5t^2+4t+1) =5{5(t+2/5)^2-4/5+1} =25(t+2/5)^2+1 よってt=-2/5のとき|a+tb|^2の最小値1 ∴|a+tb|の最小値1

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