ベクトル

質問

(1)二つのベクトルa→=(3、t)、　b→=(－1、2)　に対して、a→＋2b→と２a→-b→　が直交するときtの値を求めよ。

(2)二つのベクトルをa→=(2、1)、　b→=(3、4)とする。tがすべての実数を動くとき、
　ｌa→＋ｔ(ｂ→)l の最小値を求めよ　

この２題の解法を教えてください。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(1)二つのベクトルa→=(3、t)、　b→=(－1、2)　に対して、a→＋2b→と２a→-b→　が直交するときtの値を求めよ。
＞二つのベクトルが直交するときは二つのベクトルの
内積=0。
a→＋2b→=(3、t)+2*(-1、2)=(3-2,t+4)=(1,t+4)
２a→-b→=2*(3、t)-(-1、2)=(6+1,2t-2)=(7,2t-2)
(a→＋2b→)・(２a→-b→)=(1,t+4)・(7,2t-2)
=1*7+(t+4)*(2t-2)=7+2t^2-2t+8t-8=2t^2+6t-1=0
これを解いてt={-6±√(36+8)}/4=(-6±√44)/4
=(-3±√11)/2・・・答え
(2)二つのベクトルをa→=(2、1)、　b→=(3、4)とする。tがすべての実数を動くとき、
　ｌa→＋ｔ(ｂ→)l の最小値を求めよ　
＞a→+t(b→)=(2,1)+t(3,4)=(2+3t,1+4t)
ｌa→＋ｔ(ｂ→)l^2=(2+3t)^2+(1+4t)^2=5(5t^2+4t+1)
f(t)=5t^2+4t+1=5{t^2+(4/5)t}+1=5{t+(2/5)}^2+1-4/5
=5{t+(2/5)}^2+1/5からf(t)はt=-2/5の時に最小値1/5
となるので、ｌa→＋ｔ(ｂ→)l^2の最小値は1。
よって、ｌa→＋ｔ(ｂ→)l の最小値は１。・・・答え

お礼

ありがとうございます。

よくわかりました。

回答No.1

suko22

以下、ベクトル記号省略します。

(1)a+2b=(3,t)+2(-1,2)=(1,t+4)

　2a-b=2(3,t)-(-1,2)=(7,2t-2)

　この２つベクトルが直交するから、
　(a+2b)・(2a-b)=0
　7+(t+4)(2t-2)=0
　2t^2+6t-1=0
　t=-3±√11

(2)|a+tb|=|(2,1)+t(3,4)|=|(2+3t,1+4t)|

|a+tb|^2=(2+3t)^2+(1+4t)^2
=4+12t+9t^2+1+8t+16t^2
=25t^2+20t+5
=5(5t^2+4t+1)
=5{5(t+2/5)^2-4/5+1}
=25(t+2/5)^2+1
よってt=-2/5のとき|a+tb|^2の最小値1
∴|a+tb|の最小値1