不定形について

質問

１^∞ってなんで不定形なんですか？1＾∞＝１だと思うんですが・・・。

お願いします。

回答No.9

alice_44

←A No.6 補足
e^x log は、でてきてませんよ。

exp x が e^x と同じなのであって、
exp だけで e^x なのではありません。
exp log lim b[n]^a[n] は、括弧を省略していますが、
= exp( log( lim b[n]^a[n] )) = e^( log( lim b[n]^a[n] ))
を表す式です。
log x とか、sin x とか、こういう書きかたをしますよね？

exp と log は、互いに逆関数なので、
x = e^(log x) が成り立ちます。
x = lim b[n]^a[n] を代入すれば、
lim b[n]^a[n] = exp( log( lim b[n]^a[n] )) です。

log が連続関数であるため、exp( ) の中身を更に
log( lim b[n]^a[n] ) = lim log( b[n]^a[n] )
と変形できます。

最後の log b[n]^a[n] = a[n] log b[n] は、
対数法則です。

回答No.8

cockpit

文字が一部みにくくなりごめんなさい。

>(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正なのはなぜですか？

n ≧ 2 とすると
2 ≦ k ≦ n です。

2 ≦ k より
1 ≦ k-1
i = 1, …, k-1　に対し、1-i/n が正になることを言います。

i ≦ k-1 < k
k ≦ n より
i < n　　　
n( > 0) で割って
i/n < n/n = 1
-1倍して
-i/n > -1
1-i/n > 0

回答No.7

cockpit

>(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正なのはなぜですか？

n ≧ 2 とすると
2 ≦ k ≦ n です。

2 ≦ k より
1 ≦ k-1
i = 1, …, k-1　に対し、1-i/n が正になることを言います。

i ≦ k-1 < k
k ≦ n より
i < n n( > 0) で割って
i/n < n/n = 1　　　　-1倍して
-i/n > -1
1-i/n > 0

回答No.6

alice_44

exp x は e^x と同じ関数の別表記です。
log との関係で解かるかと思いましたが…

補足

「lim b[n]^a[n] = exp log lim b[n]^a[n] = exp lim log b[n]^a[n]
= exp lim (a[n] log b[n]) となるからです。」
のところの式変形がわかりません。なぜe^xlogがでてくるんですか？

回答No.5

alice_44

1^∞=1 ってのは、lim a[n] = ∞ のとき lim 1^a[n] = 1 のことでしょう？
それは間違っていませんが、
lim b[n] = 1 ならば、lim b[n]^a[n] は不定型です。

lim b[n]^a[n] = exp log lim b[n]^a[n] = exp lim log b[n]^a[n]
= exp lim (a[n] log b[n]) となるからです。
lim log b[n] = log lim b[n] = 0 ですから、
lim (a[n] log b[n]) は ∞・0 型の不定型になっています。
No.3 さんが書いているのは、そういうこと。

b[n] が定数列 1 ならば、log b[n] は定数列 0 になって、
lim (a[n] log b[n]) = 0 すなわち lim b[n]^a[n] = exp 0 = 1 になりますが、
lim b[n] = 1 以外は何も知らされていない一般の b[n] については
lim b[n]^a[n] = 1 とは限らないということです。

補足

すみません・・・、expってなんですか？

回答No.4

cockpit

a[n] = (1+1/n)^n
がどんな数列になるか考えます。

2以上のすべての整数nに対してa[n]≧2が言えれば、nがどんなに大きくても（∞に行っても）
a[n]は2以上なので1には近づきません。

二項定理より
a[n]
= Σ[k=0;n]( c(n,k)*1^(n-k)*(1/n)^k )
= c(n,0)*1^n*(1/n)^0 + c(n,1)*1^(n-1)*(1/n)^1 + Σ[k=2;n]( c(n,k)*(1/n^k) )
= 1 + n*(1/n) + Σ[k=2;n]( n(n-1)(n-2)*…*( n-(k-1) )/( k！* n^k )
= 1 + 1 + Σ[k=2;n]( (1/k！)*( n/n*(n-1)/n*(n-2)/n*…*( n-(k-1) )/n )
= 2 + Σ[k=2;n]( (1/k！)*( 1*(1-1/n)*(1-2/n)*…*(1-(k-1)/n) )
(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正だからΣ[k=2;n](…)は常に正
従って
a[n] = 2 + Σ[k=2;n](…) ≧ 2

よってn→∞にしても
(1+1/n)^n ≧ 2

注)
lim[n→∞]( 1^n ) = 1　

lim[n→∞]( [nの式] ) = 0のとき
lim[n→∞]( ( 1+ [nの式] )^n ) は不定形

補足

(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正なのはなぜですか？

回答No.3

nag0720

0×∞ってなんで不定形なんですか？0×∞＝0だと思うんですが・・・

回答No.2

ta20000005

ネイピア数eの定義をどう習いましたか？eの定義のひとつが
e=lim[n→∞](1+(1/n))^n
です。別の定義で習っているならその定義に合わせて証明することになります。

回答No.1

ta20000005

lim[n→∞]a_n=1
lim[n→∞]b_n=∞
である数列{a_n},{b_n}に対して必ず
lim[n→∞]a_n^b_n=α
となるような極限αがあるなら便宜的に
1^∞=α
と書くことはあるかもしれませんが、
たとえば
a_n=1
b_n=n
なら
lim[n→∞]a_n^b_n=1
だし、
a_n=1+(1/n)
b_n=n
なら
lim[n→∞]a_n^b_n=e
と異なるので、不定形となります。

補足

後半の「a_n=1+(1/n)
b_n=n
なら
lim[n→∞]a_n^b_n=e
と異なるので、不定形となります。」のところがよくわかりません。１＾∞になると思うんですが・・・。また、eというのはここではネイピア数ですか？なぜそれが出てくるのですか？
お願いします。