長さと極限に関するパラドックス
xy-平面の第一象限で、x 軸上の区間 [0,1] を底辺とする正三角形を考えます。
御承知の通り、二本の斜辺の長さの合計は２です。
では、区間 [0,1/2] と区間 [1/2,1] とをそれぞれ底辺とした二つの正三角形を考えます。
長さが 1/2 の斜辺は全部で４本有るので、それらの長さの合計は、やはり２です。
同様に、元の区間 [0,1] を n 等分して、 長さ 1/n の線分を底辺とする n 個の正三角形を
考えます。 斜辺は全部で 2n 本あり、それらの全体の長さは (1/n) x 2n で、やはり２に
保たれます。
では、n が無限大の極限を考えたらどうなるでしょうか。
これらの正三角形の高さは明らかにゼロに成るので、これらを繋いだジグザク全体は、
x 軸上の線分 [0,1] に収束しますが、全体の長さは２に他なりません。
これは、n が無限大の極限で、全体の長さ２のジグザクは、実は、
長さが１の線分と同一視出来る事を意味してるのでしょうか？
もし、ジグザグは特異点が有る為にややこしくなる様でしたら、
正三角形の代わりに、直径が 1/n の上向きの半円と下向きの半円とを交互に、
x 軸上に全部で n 個並べても良いです。それぞれの半円の長さは pi / (2 n) です。
これらを繋げた曲線には特異点はなく、全体の長さはいつも [ pi / (2 n) ] x n = pi / 2 に
保たれます。 この場合には、n が無限大の極限で、全体の長さが pi / 2 の曲線は、
長さが１の線分と 同一視出来る事に成ってしまうのでしょうか？
半円に限らず、長さが 1/n の線分の両端 (k/n, 0) と ((k+1)/n, 0) (k=0,1, …, n-1) を繋ぐ、
長さが q / n（q は１以上の任意の実数）の任意の合同な曲線を n 個考えて、
それらは滑らかに繋がっているとして、n が無限大の極限を考えますと、
全体の長さは q に保たれるので、任意の長さ q > 1 の曲線の極限が、
長さ１の線分と同一視されても、 矛盾は全く起きないのでしょうか。
もし、こんな簡単に起こるパラドックスが、数学では問題視されてないとしたら、
大変な話だとも思うのですが？
お礼
前者です。 元の問題はオリジナルスタンダードIIICという問題集の B問題で、 n→∞のときlog(n!)/{nlogn-n}の発散収束を調べ収束するときは、 極限値を求めよ。 というものです。回答を書いてる途中でこれでいいのかな、 と思ったので質問させて頂きました。 大変助かりました。ありがとうございました。