極限に関する質問です。

質問

極限に関する質問です。

（1）lim[n→∞]0＾n=0
（2）lim[n→0]∞＾0=0
（3）lim[n→∞]1＾n=1

だと認識しているのですが、間違っている部分はありますでしょうか？

（2）が怪しい気がしています。
∞を極限として扱っていないためです。「∞＾n」なんて存在しないと言う認識で良いでしょうか？

また、（3）もネット検索で不定という回答も見かけました。（3）は正しいと思っているのですが。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

lim[n→-∞] 0^n を定義するためには「負の n に対する 0^n」が定義される必要があります. 同値ですが, 「負の n に対する 0^n」が定義されない以上 lim[n→-∞] 0^n を考えることはできません. 「0 による除算ができないから定義できない」もほぼ同じ意味なので OK でしょう.
(2) については最初からお考えの通り「∞ は数ではない」で切っちゃってもいいです. もちろん「∞+∞=∞」のようにあたかも数として扱っているように見える場面もありますが, これも「あくまで便法である」と解釈すべきところです.
なお, 「底が∞に発散し指数が 0 に収束する」場合であっても,
n^(1/log n)
(log n)^(1/log n)
n^(1/log log n)
で n→∞としたときのふるまいは異なります. 対数を取れば簡単に分かりますが, それぞれ「e に収束」, 「1 に収束」, 「∞に発散」です.

お礼

親切丁寧にご回答いただき大変感謝しています。
理解できました。

回答No.3

Tacosan

(1) と (5) は OK. (4) はそもそも極限が定義できない.
(2) については, いずれにしても∞を何かの極限として表さない限り意味を持ちません.

補足

ご回答ありがとうございます。
（4）については、lim[n→-∞]0＾n=0はlim[n→∞]1/0＾∞となり0の除法になるため定義できない
という認識で良いでしょうか？

（2）については、∞を何かの極限の形で表さなければ定義出来ないと言う認識で良いでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

Tacosan

(2) は確かに「極限として扱っていない」のでダメです. そのあとの「∞＾n」はどのような極限を考えるかでいろいろあります. n を (0 でない定数に) 固定して底を∞にもっていけば∞になります. 一方, n を 0 としたままでは底を∞にもっていっても 1 のままです. もっというとこの形は不定形なので, 底と指数の変化の具合によって 1～∞のどこにでももっていくことができます.
(3) は 1 で OK です.

補足

ご回答ありがとうございます。

（1）は正しいでしょうか？（1）も正しい気がしております。

（2）は間違いでlim[n→0]∞^n=1でした。
＞n を (0 でない定数に) 固定して底を∞にもっていけば∞になります.
＞一方, n を 0 としたままでは底を∞にもっていっても 1 のままです.
これは、nが0でない場合はlog（∞）X=nにおいてXは∞となると言う意味ですか？
同様に、n=0ではlog（∞）X=0はXは1と言う意味でしょうか？
∞は数ではないので、∞^nなんて定義できないと考えておりました。
しかし、nの値によって値が異なる不定形と言うことなのですね。

また、追加質問で恐縮なのですが、
（4）lim[n→-∞]0＾n=0
（5）lim[n→-∞]1＾n=1
に関してはどうでしょうか？

ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

koutarou-h

(2)
ゼロ乗したら、ゼロじゃなくて１になるんでは？とりあえずゼロにはならん。

(3)
１は何回かけても１なので、無限回かけたって１でしょう。

補足

ご回答ありがとうございます。

（1）は正しいでしょうか？（1）も正しい気がしております。

（2）は間違いでlim[n→0]∞^n=1でした。
しかし、不定形ということのようですね。