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不定形について
cockpitの回答
- cockpit
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a[n] = (1+1/n)^n がどんな数列になるか考えます。 2以上のすべての整数nに対してa[n]≧2が言えれば、nがどんなに大きくても（∞に行っても） a[n]は2以上なので1には近づきません。 二項定理より a[n] = Σ[k=0;n]( c(n,k)*1^(n-k)*(1/n)^k ) = c(n,0)*1^n*(1/n)^0 + c(n,1)*1^(n-1)*(1/n)^1 + Σ[k=2;n]( c(n,k)*(1/n^k) ) = 1 + n*(1/n) + Σ[k=2;n]( n(n-1)(n-2)*…*( n-(k-1) )/( k！* n^k ) = 1 + 1 + Σ[k=2;n]( (1/k！)*( n/n*(n-1)/n*(n-2)/n*…*( n-(k-1) )/n ) = 2 + Σ[k=2;n]( (1/k！)*( 1*(1-1/n)*(1-2/n)*…*(1-(k-1)/n) ) (1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正だからΣ[k=2;n](…)は常に正 従って a[n] = 2 + Σ[k=2;n](…) ≧ 2 よってn→∞にしても (1+1/n)^n ≧ 2 注) lim[n→∞]( 1^n ) = 1 lim[n→∞]( [nの式] ) = 0のとき lim[n→∞]( ( 1+ [nの式] )^n ) は不定形
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(1-1/n), …,(1-(k-1)/n)は2以上のnに対し常に正なのはなぜですか？