ミクロの問題(計算)です

質問

ミクロの生産者行動の費用最小化問題の計算が合いません。

コブダグラス生産関数を持つ生産者が長期の場合、利潤最大化問題は
max(y,L,K) py-wL-rK
subject to y=L`α・K`(1‐α)

これをλをラグランジュ乗数として、ラグランジュ関数を解きました。

p-λ=0
-w+αλL`(α-1)・K`(1-α)=0
-r+(1-α)λL`α・K`(‐α)=0
L`α・K`(1-α)-y=0

となり、１式を２、３式に代入し、２／３式をしてＬをＫで表し、２式に代入したところ、Ｋが消えてしまいました。どのようにすればL,K,Yをきちんと求められるのでしょうか？教えてください。
初めて数式の質問をさせていただいています。見にくかったらすみません。よろしくお願いします。

回答No.10

statecollege · ベストアンサー

>そうすると、ＭＣとＭＲという水平な直線が並ぶことになりますよね？完全競争と考えれば、ＭＣ＜ＭＲであれば生産量は∞、＝なら定まらない、ＭＣ＞ＭＲなら生産しないと、Ｃを変数とした時と同じと考えて良いのでしょうか？

この質問はいい質問です。ANO8で示した答えは、p≧γのときにのみ正しいですね。p＜γのときは、L=K=Y＝０となる。この場合でも制約
　　C≧ｗL+rK

は満たされているので解です。（ｐ＞γのときは、Y（およびL、K)は費用がCで制約されているので、∞にはならない。）

max(L≧０、K≧０）π＝ｐL^αK^(１-α）-ｗL-rK
ｓ.t.
　wL＋ｒK≦C

の問題についてもきちんと非負制約を考慮してK-T条件を満たす解を求めないとダメですね！

お礼

大変よく分かりました、長い間お付き合いいただき、本当にありがとうございました。

回答No.9

statecollege

ANO2のγ、ANO6の(9)式、ANO8のMCの値は少しずつ異なった形しているので、これらが相等しいように見えないかもしれないが、実はすべて相等しい。これらが相等しいことを確かめてください。

回答No.8

statecollege

答えは

(１)　　L=αC/w　
(2)　　K=(1-α)C/r

となり、あなたの答えと等しくなります。このときのMCは次のようにして計算できる。（この場合のMCとは、Yを１単位増加させるためにはCをどのくらい引き上げなければならないか、ということです。）
(1)と(2)を全微分して

(3)　　ｄL = αdC/w
(4)　　ｄK=　(1-α)dC/r

を得る。生産関数Y=L^α・K^(1-α）を全微分すると、

(5)　　ｄY=αL^(α‐1)K^(1-α）ｄL＋(1－α）L^αK^(-α）ｄK

を得る。(1)、(2)、(3)、及び(4)を(5)に代入し、整理すると（確かめよ！）

ｄY = [(α/w)^α・((1-α)/α)^(1-α）]ｄC

よって

MC = dC/dY= （ｗ/α）^α・(r/(1-α））^(1-α）

と、一定であることがわかる。MCを縦軸に、Yを横軸にとると、垂直ではなく、水平な直線となる。

お礼

ありがとうございます。そうすると、ＭＣとＭＲという水平な直線が並ぶことになりますよね？完全競争と考えれば、ＭＣ＜ＭＲであれば生産量は∞、＝なら定まらない、ＭＣ＞ＭＲなら生産しないと、Ｃを変数とした時と同じと考えて良いのでしょうか？

回答No.7

statecollege

最初にANO6の訂正。(４)式のすぐ後の文

すると、（２）と（３）より、(1)と(2)は等号で成立するから
⇒すると、(２)と(４)より、(１)と(３)は等号で成立するから
と訂正されたい。

次にあなたの質問
＞もし、費用wL+rKを一定Ｃ'などと仮定すると、どうなるのでしょうか？

max(L≧０、K≧０）π＝ｐL^αK^(１-α）-ｗL-rK
ｓ.t.
　wL＋ｒK≦C

したがって、Lagrangianを使って書くと

　　A = pL^αK^(１-α）- ｗL- rK -λ[ｗL+rK-C]

となる。あとは前の議論のように進めればよい。解いて結果を見せてください。とくに難しい問題ではない。あなた元の問題よりずっとやさしい問題です。

お礼

ありがとうございます。

Ｌ=Ｃ'・α／Ｗ Ｋ=(１-α)／ｒ・Ｃ'

となりました。このとき、ＭＣは垂直になると考えて良いのでしょうか？

回答No.6

statecollege

あなたの利潤最大化問題を非負制約に注意して直接解いてみましょう。最大化問題は

　　　max (y≧０、L≧０、K≧０）　π＝py-wL-rK
s.t.
y = L^αK^(1-α）

である。制約式を目的関数に代入して

　　　π＝pL^αK＾(１－α）－ｗL - rK

利潤最大化のK-T条件は

∂π/∂L≦０　および　L∂π/∂L=0
∂π/∂K≦０　および　K∂π/∂K=0
からなる。すなわち、
(1)　　　　pαL^(α-1)K^(1-α）≦w.
(2)　　　　L[pαL^αK^(1-α)-w] = 0.
(3) 　　 p(1-α）L^αK^(-α）≦ ｒ.
(4)　　　　K[p(1-α）LαK^(-α) - r] = 0.
となる。いま、利潤最大化LとKは正の値をとるとしてみよう。すると、（２）と（３）より、(1)と(2)は等号で成立するから、
(1)と(3)より
(5)　　　　　K = (w/r)(1-α)/α）L
を得る。（ここまではあなたも求めた！）これを上の生産関数に代入すると
(6)　　　　　　y　=　(w/r)^(1-α)・（（1-α）/α）^(1-α）・L
このときの利潤πは　
(7)　　　　π= ｐｙ－ｗL- rL
　　　　　 = p(w/r)^(1-α)・((1-α)/α)^(1-α）L－ｗL-r(w/r)(1-α)/α）・L
= p[(w/r)^(1-α)・((1-α)/α)^(1-α）- w/p-(w/p)(1-α)・α]・L
ところが、(1))は等号で成立する(上の仮定を思い出すこと）から、これに(5)を代入すると
(8)　　　　　w/p＝α(w/r)^(1-α)・((1-α)/α）^(1-α）
これを(7)に代入すると右辺は0となる(確かめよ！）つまり、LとKが正の値をとるような状況のもとでは、生産量は(6)で利潤はゼロとなる。生産量を示す(7)式の右辺にはLがあるが、Lは任意だから、最適生産量（６）は非決定、すなわち、一意に定まらないことをあらわしている。労働投入量Lも非決定であり、(5)によって与えられる資本投入量も非決定である。ただし、LとKは独立に決定はできない、KとLの間には必ず(5)の関係がある。なお、この結果を得るためには、外生的に決定される(モデルの外で決定される）ｐとｗとｒの間には（８）の関係、(8)を書き換えると、
(9)　　　　　p = w/[α(w/r)^(1-α)・((1-α)/α）^(1-α）≡γ
があるときのみ成立する。この右辺の値は以前にもとめた、当該財を（ｗとｒが市場で与えられたとき得られる)コブダグラス生産関数のもとで平均費用=限界費用だ。市場価格がこれ以外のときは最適生産量はゼロ、したがってLとKに対する企業の需要もゼロだ（あるいは最適生産量がそんざいしない）。この点はすでにANo2でみたが、この結果がここでの議論のもとでどうしたら得られるか考えてみてください。（ヒント書いておくと、こここでの解答のなかでは、K>0 およびL>0を仮定したが、このとき(8)、あるいは同じことだが(9)が成り立つことを導いた、ｐとｗとｒがこれ以外の値をとるときは(1)と(3)は等号では成立しないのである。）

お礼

ノートに書いてやってみました。難しかったです、ありがとうございました。もし、費用wL+rKを一定Ｃ'などと仮定すると、どうなるのでしょうか？

回答No.5

statecollege

・問題2のように、選択変数の取り得る値が非負制約を受けるとき（あるいはもっと一般的には制約条件が不等号で与えられるとき）には最大化の条件は等式ではなく、Kuhn-Tucker条件と呼ばれる不等式で与えられる。私の問題、

　max(y≧0） π(y)　

を例にとると、yは非負制約を受けるので、利潤πを最大化するyは、π'(y)=0ではなく、

　　π'(y)≦0　および　yπ'(y)=0

を満たすことになる。この最大化条件をKuhn-Tucker（クーン・タッカー）条件と呼び、とくに2番目の式を相補条件といいます。このK-T条件を問題２に適用すると、π(y)　=　（p - a)y、π'(y) = p-aであるから、K-T条件は
(1)　　　　p - a ≦０
(2)　　　　　ｙ（ｐ-a) = 0
で与えられる。(1)より、p≦aのときにのみ、最大値（最大利潤）が存在し、p＜aならば、(2)より、y=0がただ1つの利潤最大化生産量であることがわかる。一方、p = aならば、(いかなる非負のｙでも(2)を満たすので、利潤を最大化生産量であることになる。なお、p>aならば、いかなる(有限の）生産量も(1)、{2}を満たさないので、利潤最大化生産量では存在しない、ということになる。

　・もちろん、K-T条件(1),(2)は問題１に適用できることはいうまでもありません。この場合はπ(y) = py - ay^2となるから、K-T条件は
(3)　　　p - 2ay ≦0
(4) y(p - 2ay) = 0
(3)を等号で満たすy=p/(2a)が利潤最大化解であることは、このｙが(3)と(4)を満たすことから確かめられる。さらにこの解が唯一の解であることは、これより大きくても、小さくても、(3)と(4)を同時に満たすことはないことから確かめられる。（たとえば、ｙ＝０は(4)を満たすが、(3)は満たさない！）
　・問題2の、ｙ＝０のような解を端点解、解ｙが正の値をとるとき、内点解という。問題１のように、解が非負制約を受けても、内点解だけからなることが明らかな場合には、あなたが問題１について解いたように、はじめからπ'(y)=0と置いてそれをｙについて解いても問題ない。

お礼

ありがとうございます。内点解をもつ、ということはどのようにして判断出来るのでしょうか？私が質問した問題もＹが正であると仮定すればπ=０として解くことが出来るのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.4

statecollege

以下の問題を解いて報告してください。
あなたの問題よりほんの少し簡単な問題を考えてみましょう。いま、ある競争企業の費用曲線が
　　　C = ay^2
で与えられているとします。Cは総費用、aは正のパラメータ（定数）。ｙは生産量、y^2はyの2乗という意味です。
１．この企業の利潤最大化生産量を（微分を使って）求めてみてください。
２．次に、この企業の費用曲線が
　　　C= ay
で与えられたとします。この企業の利潤最大化生産量を同じように微分を使って求めてください。問題1と同じように利潤最大化生産量（供給量）は簡単に求まったでしょうか？ちょっと問題が起きてはいませんか？あなたが遭遇している問題とは実はこれと同じ問題です。

お礼

お返事ありがとうございます。

1.π=py-ay`2 ∂π/∂y=-2ay+p=0 y=p/2a
2.π=py-ay ∂π/∂y=p-a=0 p=a
となりました。

2は答が導き出せませんでした。2は限界費用と平均費用が同じだからなのでしょうか…同じだとなぜ答がでないのですか？
問題を見て、これは直接利潤を求められる問題ではない、とどのように判断すれば良いのでしょうか(費用関数が提示されていない場合)？

よろしくお願いします。

回答No.3

statecollege

ANo2からの続きです。Ano2で得た結果は、コブダグラス生産関数に特有の結果ではなく、規模に関して収穫一定が成立する生産関数（すなわち、一次同次の生産関数）なら、つねに成立する結果です。この種類の生産関数から導かれる費用関数は、総費用が生産量についてリニアの関数、すなわち、平均費用＝限界費用が一定となります。したがって、この企業の供給曲線を、生産量を横軸に、価格を縦軸にとって描くと、縦軸のγのところを通る、横軸に水平の直線となります。別の言葉でいうと、この企業の供給は価格γにおいて完全に価格弾力的となる、ということです。したがって、市場価格がこの企業の限界費用(＝平均費用）であるγより高いなら、生産をすればするほど、利潤が大きくなるので、利潤を最大化する企業は無限に生産＝供給しようとするし（数学的には利潤最大化生産量は存在しない）、市場価格がγより低いなら、生産がプラスだと損失が発生し、生産するほど損失が大きくなるので、利潤最大化供給量はゼロとなる。価格がγに等しいなら、生産量がいくらであっても、利潤はゼロ、したがって利潤最大化生産量は非決定である、ということになる。

いくつかコメント。

・市場に参加する企業が同一の、コブダグラス（あるいは規模に関する収穫一定の）生産関数をもつ場合には、市場供給曲線はγで水平の直線となるので、需要曲線との交点で定まる市場価格はγに等しくなる。総供給量は（その交点の横座標で）一意に定まるが、総生産量が個々の企業にどのように配分されるかは非決定（一意に定まらない）。
・あなたのように、直接利潤最大化問題を解こうとしてもうまくいかない理由は以上の事実からわかったと思います。単なるLagrangianではなく、Kuhn-Tuckerの方法を使わないといけない。
・コブダグラス（あるいはその他の規模に関する収穫一定)生産関数でも、一部の生産要素が固定している―たとえば資本がある一定値に固定している―短期の利潤最大化問題の場合はあなたの方法でも問題なく解くことができることはむろんです。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。費用最小化の問題の解き方、大変よく分かりました。ありがとうございます。ただ、なぜ直接利潤最小化問題が解けないのか分かりません。教えていただけないでしょうか？

回答No.2

statecollege

どこに問題があるか知るために、
・まず、この企業の費用関数がどうなるか調べ、
・費用関数が求められたら、それを利用してこの企業の利潤最大化生産量がいくらになるか、
という方法で調べてみましょう。
　　費用最小化問題は
(1)　　　　min (L,K) C = wL + rK
s.t.
(2) y = L^αK^(１－α）

と書ける。よって、この問題のLagrangian　Aは

　　A = wL + rK + λ[y - L^αK^(1-α）]

となる。よって、一階の条件は

(3)　　0 = ∂A/∂L = w - λαL＾(α-1)K^(1-α）

(4)　　0 = ∂A/∂K = r - λ(1-α)L^αK^(-α）

および　(2)によって与えられる。(3)と(4)からλを消去すると

(5)　　K = [w(1-α)/rα]L

これを(2)に代入して、Lについて解くと

(6)　　　　L = y [rα/w(1-α)]^(1-α）

を得る。さらに(6)を(2)に代入し、Kについて解くと

(7)　　　　　K = y [ｗ(1-α)/rα]^α

を得る。(6)と(7)を(1)に代入して、求める費用関数

　　　　　C = ｙ [w(rα/w(1-α)^(1-α）+ r(w(1-α)/ｒα）＾α]
　　　　　　 = γｙ

となる。ただし、γ≡ｗ（ｒα/w(1-α)^(1-α)+r(w(1-α)/rα)^α]である。注意しすることは、限界費費用=平均費用γで一定であることだ。いま、この企業の利潤をπと書くと、
　　　　π=　py-C = (p - γ）ｙ
となることだ。したがって、利潤最大化生産量ｙは3つのケースがある。
　　　　p　＞　γのとき、ｙは∞で、利潤πも」∞
　　　　p　＜　γのとき、ｙはゼロ、利潤πもゼロ
　　　　ｐ　=　γのとき、　ｙは非決定、利潤πはゼロ。

となる！

回答No.1

statecollege

問題点をはっきりさせましょう！あなたはコブダグラス生産関数を持つ企業の何を求めようとしているのでしょうか？冒頭には「費用最小化問題」と書いてあり、次の行には「利潤最大化問題」と書いてある。費用最小化問題というのは、あたえられた生産量に対して、あたえられた生産要素価格のもとで財(製品）を生産する費用を最少化する（生産要素の組み合わせを求める)問題。すなわち、費用関数（費用曲線）を求める問題で、このためには財(製品)の価格は必要ありません。利潤最大化問題とは、与えられた財(製品）の価格（と与えられた生産要素価格）に対して利潤を最大にする生産量を求める問題です。つまり、財の供給関数（供給曲線）を求める問題です。これらは別問題です。どちらの問題を解こうとしているのでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。利潤最大化問題については(直接利潤最大化を求める、まず費用最小化を求めてから利潤最大化を求める)の２つの解き方があるのですね。ご指摘いただくまで整理が出来ていませんでした。ありがとうございます。私が解きたいのは、直接利潤最大化問題を解く問題です。よろしくお願いします。