中級ミクロ・企業についての問題です

質問

x、ｙ財を投入してz財を生産する企業の生産関数ｚ＝min｛x^1/2 y^1/2｝
ｘ財の価格15、y財の価格５、ｚ財の価格120とする。

（１）最適な投入量、生産量、その時の利潤を求めよ

（２）費用関数を求めよ

という問題なのですが、生産関数がminで財が複数ということで式の立て方が全体的に良く分からなくなってしまいました…。
条件式などが分かれば後の計算はできると思うので、アドバイスして頂けると嬉しいです。
また、解答が無いためできれば最終的に導出される数値も教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

>生産関数がminで財が複数ということで式の立て方が全体的に良く分からなくなってしまいました…。

インプットの数が複数のとき、最小費用をもとめることは、予算制約下の効用最大化と原理的に同じこと。⇒等費用曲線のもとで、生産（関数）を最大化する。一般的に書くと

　　　max z = f(x,y)
s.t.
pXx +Pyy = C

ここで、z=生産量、f(x,y)=インプットXをx単位とYをy単位投入したときの生産量を示す生産関数、PX＝インプットXの価格、PY=インプットYの価格、C=総費用（任意の一定値に設定）。pXx + PYy =Cは、総費用がCで与えられたときのxとyの組み合わせの軌跡を表わし、等費用曲線と呼ばれる。また、生産関数z=f(x,y)をxy平面に表したグラフを等量曲線（生産量ｚのそれぞれに対して１本の、右下がりかつ原点に対して凸の曲線、つまり生産の無差別曲線）と呼ぶ。したがって、上の最大化問題は、等費用曲線が任意に与えられたとき、その等費用曲線を満たすインプットの組(x,y)の中から最大の生産量を示す等量曲線を見つけることにほかならない。つまり、与えられた等費用曲線と接する等量曲線を見つければよい。

ところで、あなたの問題では生産関数は

(*)　　　 f(x,y) = min{x^(1/2), y^(1/2)}

で与えられている。
あなたの以前の質問に効用関数がU = min{C1,C2}に与えられているとき、最適消費量の組（C1,C2)を求める問題があったが、あの問題を思い出してほしい。この効用関数から導かれる無差別曲線はC1C2平面上でL字型の無差別曲線となることだった。最適な消費の組(C1,C2)は、無差別曲線の尖った部分（キンク）で生じる。(*)の等量曲線(群)も同様だが、若干工夫が要る。いま、x^(1/2)=X, y^(1/2)=Y（大文字と小文字の区別に注意）とおくと、生産関数は

(**)　　　z = min{X,Y}

と書き換えられ、等費用曲線は

(***)　　　C =15x + 5y = 15X^2 + 5Y^2

となる。XY平面では、(**)はL字型の等量曲線となるので、XとYの最適な組は

(****)　　　　　X＝Y = z

を満たす（つまり、XY平面上で、キンクの部分は原点を通る４５度線上にある）。これを(***)に代入すると

　　　　　C= 15z^2 + 5z^2 = 20z^2

これがこの企業の費用曲線だ（問（２)の答え）。費用曲線とは生産量ｚを最小費用で生産するときにかかる費用を、ｚの関数として表したものだ。

最適生産量はこの費用関数を用いて当該企業の利潤を最大化したときの生産量ｚのこと。よって利潤をΠとおくと

　　Π = 120z - 20z^2

よって、これをｚで微分して０とおくと

　　0 = dΠ/dz = 120 - 40z

求める利潤最大化生産量ｚを得る。すなわち、

　　 z = 3　

が最適生産量で、最適投入量は (****)より、x = y = ｚ^2 = 9　となる。

お礼

無事に答えを導くことができました。やはり費用関数を先に求めるんですね。置き換えなどなかなか言われないと気付けないのでいつも止まってしまうのですが、丁寧な解説をしていただいてありがとうございました！＾＾

回答No.2

statecollege

回答１の追記です。

回答１で、

インプットの数が複数のとき、最小費用をもとめることは、予算制約下の効用最大化と原理的に同じこと。⇒等費用曲線のもとで、生産（関数）を最大化する。一般的に書くと

　　　max z = f(x,y)

s.t.

　　　PXx +PYy = C

と書きましたが、もう少し説明を補足すると、生産量ｚが与えられたとき、このｚを最小費用で生産するための、XとYの最適投入量は

　　　min C = PXx + PYy

s.t.

　　 z = f(x,y)

となりますが、この問題は、「費用Cが与えられたとき、その与えられた費用のもとで最大の生産量を求めるための、XとYの最適投入量を求めよ」という問題と同じ問題です。さらに、後者は、予算制約のもとでの効用最大化の問題と数学的には同じ問題だということです。したがって、同じように解けばよいのです。

また、上で、maxとかminとかありますが、それぞれ、「最大化せよ」、「最小化せよ」という意味であり、s.t.という記号は
"subject to"の略で、「・・・の制限のもとで」という意味です。

それから、あなたの質問の中にある生産関数

z = min{x^(1/2), y^(1/2) = x^(1/2)とy^(1/2)のうち小さいほうの値が生産量ｚと等しい

という意味です（あなたの質問の式ではカンマが抜けていますが、いれておく必要があります。

以上説明を追加しておきますが、回答に不明な点があれば（補足質問の欄を使って）質問することが大切です。