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ミクロ経済学の問題
某大学編入の過去問です（ミクロ経済学）。 財xと財yん関する生産可能性フロンティアの式が x^2+y^2=M で与えられている。ここに、Mは資源の量である。 個人の効用関数は U(x,y)=(x)(y)^2 で与えられ、この個人が資源を72保有しているとする。 この個人の最適生産・消費計画(x*,y*)を求めよ。 やり方まで教えてもらえるとありがたいです。
- hide20century
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>市場が出ない問題もあるんですね、恥ずかしながら知らなかったです… そんなことはありません。だいたい、パレート最適（効率）の概念は市場メカニズムとは独立の概念です。だから、競争均衡（市場で成立する概念）はパレート最適（市場とは独立の概念）であるという（厚生経済学の第1）命題が興味深いのです。 あなたのように計算するのが正攻法（フォーマルなやり方）で、正しい方法ですが、途中計算間違いをしているようなので、検算をされたい。 私なら、図から得られるショートカットを使います。 無差別曲線の傾きを限界代替率（MRS)といいますが、 MRS=∂U/∂x/∂U/∂y＝y^2/2xy = y/(2x) であり、生産可能フロンティアの傾きを限界変換率（marginal rate of transformation, MRT)といいますが MRT=∂M/∂x/∂M/∂ｙ＝2x/2y = x/y となる。無差別曲線と生産可能性フロンティアが接するとき、これらは相等しくなるので、 MRS=MRT よって y/(2x) = x/y y^2 = 2x^2 これを生産可能フロンティアの式に代入し、整理すると x^2 = 24 x = 2√６ y=4√３ となる。つまり、(x*,y*)=(2√6,4√3）が最適解です。
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- statecollege
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>一階条件は δL/δx=y^2-2xλ=0 δL/δy=2xy-2yλ=0 δL/δλ=72 - x^2 - y^2=0 で、この連立方程式を解くことで、 (x*,y*)=(6,4√3) が得られる…これで合っていますでしょうか、、？ 途中の計算を再チェックしてみた？この答が間違いであることは結果を最後の制約式にいれてみれば、ゼロにならないことからわかるでしょう。正しい答えは私の回答４に書きました。
- statecollege
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＞この場合の効用最大化問題は max(x,y) xy^2 s.t. p1x^2+p2y^2=72 いいえ、違います！ max U = (x)(y)^2 s.t. x^2 + y^2 = 72 の条件付き効用最大化問題を解く、ということです。市場は出てこないので、価格Px、Pyは関係ありません。ｘを横軸に、ｙを縦軸にとるとき、制約条件は原点を中心に、半径√72の円を第1象限に描いた4分の１円だということがわかりますか？効用関数を無差別曲線群（原点にたいして凸の曲線群）で表してください。その無差別曲線の１つが資源制約である4分の１円と接することがわかるでしょう。その接した点が最大解の（x*,y*)です。以上は解を図で示す方法ですが、それを具体的に計算で示すにはどうしたらいい？
お礼
市場が出ない問題もあるんですね、恥ずかしながら知らなかったです… 図で描いてみると、確かに直観的でわかりやすいですね。 計算だと、効用最大化問題は、 max U = (x)(y)^2 s.t. x^2 + y^2 = 72 と定式化でき、ラグランジュ乗数をλとすると、 L=(x)(y)^2+λ(72 - x^2 - y^2) 一階条件は δL/δx=y^2-2xλ=0 δL/δy=2xy-2yλ=0 δL/δλ=72 - x^2 - y^2=0 で、この連立方程式を解くことで、 (x*,y*)=(6,4√3) が得られる…これで合っていますでしょうか、、？
- statecollege
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「普通の問題」の例として、この質問（↓）の回答２ https://okwave.jp/qa/q9622973.html
- statecollege
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あなたは、予算制約のもとでの効用最大化問題という「普通の問題」は解けますか？この「普通の問題」とは、効用関数が与えられたとき、個人の、財XとYの需要関数を求める問題です。普通の問題では、予算制約は Px・x＋Py・y＝I というふうにｘとｙについて線形（一次関数）ですが、ここでは制約式が非線形であるという違いがあるだけです。「普通の問題」の解き方を知っているなら、ここの問題はその応用です。
お礼
なるほど！つまり、予算制約は生産可能性フロンティアで表されるんですね、、 この場合の効用最大化問題は max(x,y) xy^2 s.t. p1x^2+p2y^2=72 で、最適解を求めればいいんですね…
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