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ミクロ経済・生産関数の問題

ある財の短期の生産関数がZ=x^1/4・y^1/2であるとする(xとyは生産要素aとbの投入量)。 生産要素aとbの価格が1と2、固定費用をFとする。 1.この財の費用最小化問題を解き、費用関数を求めよ。 2.限界費用、平均費用、平均可変費用を求めよ。 3.損益分岐点での財の価格pを求めよ。 この解答について 1.限界生産性の比=価格比だからa=b。よって費用関数は3a+F 2.限界費用=3、平均費用=3+F/a、平均可変費用=3 と解答していたのですが、3.の答えが出せない状態です。 1.、2.の解答がおかしいのか、また3.の解答をご教授いただければ幸いです。

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1と2のあなたの答えが正しくありません。費用関数とは、当該財の生産量Zの関数としてそのときにかかる(最小)費用を表わしたもの。それから、細かいことですが、aとbは生産要素の名前、aとbの投入量はxとyです。 費用最小化問題の1階の条件は確かにMRTS(=限界生産性の比率)=生産要素価格比率で、 x=yとなりますが、問題指示で、費用最小化問題を解き、・・とあるが、「費用最小化問題」は min C= x + 2y + F s.t. Z = x^1/4・y^1/2 だ。費用最小化の1階の条件はMRTS= 1/2だが、 MRTS = [(1/4)x^(-3/4)・y^1/2]/[(1/2)x^1/4・y^(-1/2)] = (1/2)y/x より、 (1/2)y/x = 1/2 よって生産要素aとbの費用最小の組み合わせには y = x の関係がある。これを短期の生産関数Z=x^1/4・y^1/2に代入すると Z= x^1/4・x^1/2 = x^3/4 よって最適なa(b)の投入量x(y)と財の生産量Zとの間には x = y =Z^4/3 の関係がある。これらを等費用曲線C=x+2y+Fに代入するなら C= 3Z^4/3 + F を得る。これが求める費用関数。 これより限界費用MC、平均費用AC、平均可変費用AVCはそれぞれ MC = dC/dZ = 4Z^(1/3) AC=C/Z=3Z^(1/3) + F/Z AVC = VC/Z = 3Z^(1/3) となる。 損益分岐点はACが最小となる生産量において、つまりAC=MCのとき起こるから、 3Z^(1/3) + F/Z = 4Z^(1/3) Z^(4/3) = F すなわち、 Z = F^3/4 のとき起こる。 よってそのときの価格PはAC関数へこの値を代入して P=AC(F^3/4)=3(F^3/4)^(1/3) + F/F^(3/4) = 3F^1/4 + F^1/4 = 4F^1/4 を得る。これが損益分岐価格、つまり、市場価格がこれより高いなら利潤が発生し、低いなら損失が発生する。 計算間違いがあるかもしれないので確かめられたい。質問があれば、追加質問をされたい。

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質問者からのお礼

生産関数は投入量の関数ではなく、生産量の関数で表さないといけないのですね。丁寧なご回答ありがとうございました。

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多分、1,2がおかしいのでは? >1.限界生産性の比=価格比だからa=b。よって費用関数は3a+F 費用関数が3a+Fということは 固定費に原材料費3aを乗せたものが生産費用になるということですよね? つまり、固定費を忘れれば線形ということです。 ところが 生産関数はどうみたって線形ではありませんから、固定費を考慮しない場合a+bに比例していないのは明らかです。 >2.限界費用=3、平均費用=3+F/a、平均可変費用=3 1が間違っているのですから、2が間違っているのも明らかです。 >1.この財の費用最小化問題を解き、費用関数を求めよ。 普通はzについて微分します。 ですので右辺をxとyとで偏微分します。 そうでなかったら、x,yにa,bを代入して費用関数を求め、最小点を探すのでは?

参考URL:
http://www.diamond.co.jp/_itempdf/0201_biz/21051-9.pdf

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。

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