ラグランジュを使った費用最小化問題の計算について

質問

費用最小化問題を解くときにラグランジュ未定乗数法を用いてл=wL+rk+λ(2-k^1/3・L1/3)となったとします。
その後、LとKとλについてそれぞれ上の微分した式を作ります。
L'=w-(λ/3・K^1/3・L^-2/3)=0　…(1)
k'=r-(λ/3^-2/3・L^1/3)=0　…(2)
λ'=2-k^1/3L^1/3=0　…(3)

ここまでは理解出来るのですが、教科書を読むとここから(1)、(2)より
w/r=k/LしたがってK＝w/r・Lとなるので、これを(3)に代入する。

と書いてあるのですが、(1)、(2)よりw/r=k/Lとなるその計算の手順が分かりません。
私が(1)、(2)を連立方程式で解いてもこんなにも綺麗な形にならずに困っております。
どのようにして方に乗っている分数をきれいに払うことが出来るのでしょうか？
考え方、計算手順をご指南いただければと思います。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

L'=w-(λ/3・K^(1/3)・L^(-2/3))=0　…(1)
k'=r-(λ/3・K^(-2/3)・L^(1/3))=0　…(2)
だとすると
w=λ/3・K^(1/3)・L^(-2/3)　…(3)
r=λ/3・K^(-2/3)・L^(1/3)　…(4)
となって(3)/(4)とすると
w/r=K・L^(-1)

お礼

ようやく理解できました。(3)/(4)とすることでこんなに綺麗にすることが出きるのですね。ありがとうございました。