最大値の原理について

質問

最大値の原理を用いて次の問題を解きたいです。
f(z)=z^2+2のとき、｜ｆ（ｚ）｜の｜ｚ｜＜＝１における最大値、最小値を求めよ。
答えは最大値は３、最小値は１なのですがそこに至れません。どなたか教えてください。
お願いします。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

> 早速の回答有難うございます。解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。

これは完全に高校数学レベルの問題。
z^2={cos(t)+i*sin(t)}^2=cos(2t)+i*sin(2t)
|f(z)|=|cos(2t)+i*sin(2t)+2|=√[{cos(2t)+2}^2+{sin(2t)}^2]
後は[]の中を展開するだけ。{cos(2t)}^2+{sin(2t)}^2=1　ですのでcos,sinの2次の項は残りません。

お礼

よくわかりました。虚数の絶対値の計算の方法をすっかり忘れていました。どうも有り難うございます。

回答No.2

rnakamra

最大値の原理から、|f(z)|の最大値は領域|z|≦1の境界、つまり|z|=1の中でで最大値をとります。
|z|=1つまり、z=e^(iθ) (0≦θ<2π)におけるz^2+2=|e^(2iθ)+2|の最大値を調べればよいでしょう。

|z|≦1における|f(z)|の最小値はその逆数を考えてみればよいでしょう。
つまり、1/f(z)=1/(z^2+2) について考えてみます。
1/(z^2+2)の特異点はz=±(√2)i であり、これは|z|≦1の領域内にはありません。
1/(z^2+2) は|z|≦1の領域内で正則です。
最大値の原理から|1/(z^2+2)|は領域|z|≦1の境界、つまり|z|=1の中で最大値をとります。
|1/(z^2+2)|が最大となる時、|z^2+2|は最小となります。
|z|=1つまり、z=e^(iθ) (0≦θ<2π)における|z^2+2=e^(2iθ)+2|の最小値を調べればよいでしょう。

お礼

良くわかりました。どうも有り難うございます。

補足

早速の回答有難うございます。解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。

回答No.1

Willyt

与式は頂点が（0,2) で下に凸な放物線です。一方｜ｚ｜＜＝１は　－１≦ｚ≦１ですね。これをグラフに図示して見て下さい。
そうすると、ｚ＝±１で最大値の３を取ることが分りますね。一方、最小値はｚ＝０のときでその値は１ではなく、２ですよ。

お礼

複素関数の最大値問題であることを言い忘れました。ですが、ご回答どうも有り難うございます。

補足

早速の回答有難うございます。解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。